Logistic及Verhulst预测模型在路基沉降预测中的拟合研究

胡晓阳，王连俊，张光宗

(北京交通大学土木建筑工程学院，北京 100044)

Logistic及Verhulst预测模型在路基沉降预测中的拟合研究

胡晓阳，王连俊，张光宗

(北京交通大学土木建筑工程学院，北京 100044)

高速铁路路基沉降是一个复杂的系统过程，涉及不同时期、不同工况，选用单一的预测模型不足以反映路基整体的变形规律。Logistic模型及Verhulst模型的曲线均为S形，可以反映全过程的地基沉降与时间的关系。针对路基填筑期和降水期两个时段利用MATLAB软件编制程序计算模型参数，得到Logistic模型和灰色Verhulst模型，进而求得两者的最优加权组合模型。对比结果表明：在路基填筑期由两者的最优加权组合模型预测得到的结果与实测结果较吻合，拟合精度高于单一模型;而在降水期Verhulst模型的预测值更接近实测值，平均相对误差约为1.75%，拟合精度较高。

高速铁路;预测模型;MATLAB程序;路基沉降;拟合

路基沉降的严格控制［1］是高速铁路建设中最为关键的技术措施之一，如何有效预测路基沉降量是岩土工程领域的重要研究课题。Logistic模型及灰色Verhulst模型的曲线均为S形，这比较符合路基实际沉降规律，并基本可以反映路基沉降的全过程，被国内外学者广泛地应用于各种实际工程的路基沉降预测中。郑鹏武等［2］针对由地下铁道施工而诱发地表变形的特征和规律，应用Logistic模型进行模拟和预测，证实Logistic模型预测法的合理性和应用价值。郭亚宇［3］等根据高速铁路路基沉降量与时间的关系特点，建立了Logistic预估模型，结合工程实例对路基沉降进行预测，结果表明该方法预测结果与实际较为吻合。赵明华等［4］在深入分析沉降发生发展规律的基础上引入灰色Verhulst模型，结果表明此方法拟合误差小，后期沉降预测准确。王慧彬［5］采用灰色系统法和BP神经网络法对路基基坑降水阶段战场复合地基沉降进行预测，结果表明灰色系统法的预测效果好于BP神经网络法。赵明华等［6］根据Logistic曲线和Gompertz曲线的共性和个性，建立了最优加权组合沉降预测模型。计算结果表明，最优组合沉降预测模型的精度和可靠性均优于单一预测的模型，是地基沉降预测的一种有效分析方法。王晓睿等［7］建立了Logistic-Verhulst模型，模拟计算围岩应力重分布过程的位移，计算结果证明了Logistic-Verhulst模型在隧道围岩位移监测应用中的可行性和可靠性。

路基在不同时段受到的工况改变是影响模型预测精度的关键因素。本文针对路基填筑期和降水期这两个时段，结合模型的自身特点，利用MATLAB软件编制程序求得模型参数，得到Logistic模型及灰色Verhulst模型，并以对数误差平方和最小为原则确定最优加权系数，建立路基沉降预测的最优加权几何平均组合模型。通过对比每个模型在路基不同时段的应用效果，得出在不同阶段预测模型的适用性。

1 数学模型

1.1 Logistic曲线预测模型

Logistic曲线可以反映生物的生长过程，所以Logistic曲线在生物繁殖、人口发展统计和产品生命周期分析等方面都有着广泛的应用。

Logistic曲线预估模型的数学表达式为

式中，k、a、b分别为模型的3个待定参数，其中a＞0，b＞0。

式(1)所表示的是一条S形曲线，它反映了事物发生、发展、成熟并达到一定极限的过程。

1.2 灰色Verhulst预估模型

Verhulst模型在生物繁殖、人口增长等过程的描述和分析中有广泛的应用。标准的Verhulst模型曲线呈S形，它反映了生物生长由加速增长到减速增长到最终趋于稳定的过程。由于这一过程与路基沉降过程极为相似，所以选用灰色Verhulst预估模型作为中长期预估模型的补充［8］。根据灰色理论:

灰色Verhulst模型的微分方程为

其白化形式微分方程的解为

记其离散响应方程为

当所取原始数据为实测沉降时间序列时，由于原始数据本身就呈S形，所以可取原始数据为y(1)，其一次累减生成数列为y(0)，从而建立灰色Verhulst预估模型以直接对y(1)进行拟合。由式(3)可以看出，当t→∞时，若a＞0，则y(1)(t)→0，显然这是不可取的;若a＜0，则y(1)(t)→a/b，a/b即表示路基最终沉降量。

1.3 Logistic-Verhulst组合预测模型

一种预测模型和预测方法只适用于一种工况，也只局限于提供一种预测的有价值信息。在路基的沉降预测实践中，不同的预测方法可以提供不同有价值的信息，将不同的预测方法进行适当的组合，可以有效地提高预测的精度［9］。本文将Logistic模型、Verhulst模型进行组合，以组合模型的对数误差平方和最小为原则来确定最优加权系数w1、w2，得到最优加权几何平均组合预测模型。

2 填筑期的路基沉降预测

以京沪高速铁路济南西客站项目［10］为研究背景，京沪高速铁路济南西客站站场总长3 000余m，路堤宽达160 m，路堤填高7 m，为大面积堆载站场路基。该站场范围内地质均为深厚松软土［11］层，为了控制沉降量，地基采用了CFG及管桩复合地基形式。选取该站场的D断面为研究对象，其沉降观测资料如表1所示。观测时间从2009年2月4日起到2010年12月4日止，该断面自2009年10月初开始降水。现依据此工程中前10～178 d的沉降数据，可得拟合的Logistic曲线为

由此可做出2种模型的曲线与实测曲线的对比，发现实测曲线恰好介于两者之间，于是应用加权组合方法，以组合模型的对数误差平方和最小为原则，求出最优加权系数为

由Logistic模型、Verhulst模型及最优加权几何平均组合预测模型计算出的预测沉降值和相对误差如表1所示，得出的沉降量与时间的关系曲线如图1所示。

表1 DIK419+575沉降观测值与拟合值(填筑期)

续表1

图1 实测数据与拟合数据曲线(填筑期)

由Logistic模型、Verhulst模型及最优加权几何平均组合预测模型计算出的精度指标及可靠性指标如表2所示。

表2 3个预测模型的精度指标对比

从评价预测模型精度的指标AESS和SE来看:在本工程实例中，Verhulst模型的AESS和SE最大，Logistic模型的AESS和SE次之，Logistic-Verhulst组合预测模型的AESS和SE最小，这表明本文最优组合预测模型的精度较Logistic模型和Verhulst模型要高。

从反映模型稳定可靠性的指标RESS来看，组合预测模型也是最小，说明组合预测模型是比Logistic模型和Verhulst模型更可靠的预测方法。

由图1可以看出，Verhulst模型早期拟合的相对误差偏小，Logistic模型后期拟合的相对误差偏小，而组合预测模型在前100 d与实测曲线吻合得非常好。本工程实例中，达到填筑高度为第140 d，沉降趋于稳定。图2则表明，灰色Verhulst模型与实测曲线较吻合，更适用于降水期的路基沉降预测。

图2 实测数据与拟合数据曲线(降水期)

3 降水期的路基沉降预测

京沪高速铁路济南西客站项目站场D断面自2009年10月初开始进行基坑降水［12］，现取降水期第305～496 d的沉降观测数据，算得Logistic曲线为

由实测数据、Logistic模型及Verhulst模型得降量与时间的关系曲线如图2所示，计算出的预测沉降值和相对误差如表3所示。

表3 DIK419+575沉降观测值与拟合值(降水期)

表3则显示出Verhulst模型拟合精度更高，平均相对误差为1.75%。于是利用Verhulst模型对第473、483、496 d的沉降值分别作出预测，结果如表4所示。

从表4可以看出:与实测值相比，Verhulst模型的预测值相对误差较低，在1%以下。

表4 Verhulst模型的预测值

4 结论

(1)分时期建立了软土路基的Logistic、Verhulst沉降预测模型，并以对数误差平方和最小为原则确定了最优加权系数，建立了路基沉降预测的最优加权几何平均组合模型。

(2)工程实例表明:在填筑期，由最优加权几何平均组合模型拟合的沉降值误差小于参加组合的2个模型，其拟合精度及可靠性都比单一预测模型要好，使所得的拟合曲线很接近实测值;而在降水期，参与拟合的2种模型相比，灰色Verhulst模型更接近实测值，拟合精度更高，平均相对误差在1.75%。

(3)从降水期的预测情况看，虽然灰色Verhulst模型的预测精度较高，但是其拟合出的曲线并未严格符合实测曲线，其原因有待从土体本构模型、岩土流变角度考虑进行进一步研究。

［1］ 中华人民共和国铁道部.铁建设［2003］13号 京沪高速铁路设计暂行规定［S］.北京:中国铁道出版社，2005.

［2］ 郑鹏武，谭忠盛，董志明.地铁施工引起地表沉降的Logistic模型预测及应用［J］.中国安全科学学报，2006，16(3):23-26.

［3］ 郭亚宇，庞旭卿，王龙.Peral模型在高速铁路路基沉降预测中的应用［J］.土工基础，2010，24(4):44-46.

［4］ 赵明华，陈炳初.基于Verhulst模型的软土路基沉降预测［J］.沈阳建筑大学学报，2007，23(4):580-583.

［5］ 王慧彬.京沪高铁济南西客站复合地基沉降预测研究［D］.北京:北京交通大学，2010:52-56.

［6］ 赵明华，龙照，邹新军.基于Logistic曲线和Gompertz曲线的最优组合沉降预测模型及应用［J］.公路交通科技，2007，24(12):1-4.

［7］ 王晓睿，王元汉.基于Logistic-Verhulst模型的云岭隧道围岩位移预测［J］.昆明理工大学学报，2007，32(5):57-61.

［8］ 付宏渊.高速公路路基沉降预测及施工控制［M］.北京:人民交通出版社，2007:29-44.

［9］ 欧阳炼.GM(1，1)-Logistic路基沉降组合预测模型研究与应用［J］.铁道科学与工程学报，2010，7(4):56-60.

［10］郑子涛，许宗芳.济南铁路枢纽总图规划探讨［J］.铁道标准设计，2011(12):15-18.

［11］刘升传，曹渊.新建铁路软土路基沉降规律研究［J］.铁道工程学报，2010，140(5):1-3.

［12］张光宗，王连俊，朱孝笑.基坑降水对京沪高速铁路CFG桩-筏复合地基沉降的影响分析［J］.铁道标准设计，2011(12):30-32.

Research on the Fitting of Logistic Model and Verhulst Model for Subgrade Settlement Prediction

HU Xiao-yang，WANG Lian-jun，ZHANG Guang-zong
(School of Civil Engineering and Architecture，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China)

Subgrade settlement of high-speed railway is a complex systematic process that involves different periods and construction conditions，so only choosing a single model cannot represent the integrated deformation rule of subgrade.Both the Logistic model and Verhulst model can be described by S-shaped curve，and can reflect the settlement-time relation of subgrade through the whole process.Focusing on the two periods of subgrade filling period and precipitation period respectively，by means of the MATLAB software to program and calculate the model parameters，this paper obtained the Logistic model and Verhulst model，and then obtained the optimal weighted combination model of the both.Comparative calculation results show that the optimal weighted combination model of the both can fit well with the measured date，and the fitting precision is better than that of each single model in subgrade filling period;while in the precipitation period there is higher predictive precision by only using the Verhulst model that is more close to the measured data，with an average relative error of about 1.75%.

high-speed railway;prediction model;MATLAB programme;subgrade settlement;fitting

U213.1

A

1004-2954(2013)09-0001-03

2013-01-29

铁道部科技研究开发计划项目(2008G032-A)

胡晓阳(1987—)，女，硕士研究生，E-mail:11121342@bjtu.edu.cn。