多塔自锚式悬索桥竖弯基频简化计算＊

张 超

（福州大学土木工程学院 福州 350108）

0 引 言

在悬索桥方案选形及概念设计阶段，往往需要快速了解结构动力特性及掌握桥梁结构参数变化对动力特性的影响.如采用简化计算公式，则可以大大提高设计效率，也可以作为判断数值结果正确性的依据.因此，建立满足工程精度要求的频率简化计算公式具有较大的应用价值.目前，有关学者对于悬索桥基频简化计算公式已经开展了一些研究.鞠小华［1］基于能量原理用Rayleigh法推导了2塔地锚式悬索桥一阶对称竖弯频率近似计算公式.刘斌［2］利用Rayleigh法推导了3塔地锚式悬索桥竖向振动的4个基频计算公式和扭转振动的4个基频计算公式.在自锚式悬索桥方面，王志诚［3］应用Rayleigh方法推导了双塔自锚式悬索桥的低阶竖弯及扭转频率计算公式.然而，至今仍没有适用于多塔自锚式悬索桥竖弯频率计算的简化公式.由于中间主塔没有被主缆有效地锚固，主梁又长期处于压弯耦合受力状态，多塔自锚式悬索桥的竖向刚度较小［4］，且主梁振动与主缆的振动强烈耦合，整体结构竖向振型及频率较其他桥型有较大的不同.因此，本文以多塔自锚式悬索桥竖向振动为研究对象，推导其低阶竖向振动频率的简化计算公式.

1 多塔悬索桥竖向振动特性

多塔悬索桥的建设尚处于起步阶段，目前为止，已建（或在建）的多塔悬索桥均为三塔悬索桥，主要有泰州长江大桥［5］、马鞍山长江大桥［6］、武汉鹦鹉洲长江大桥［7］和福州市螺洲大桥［8］.其中前3座是地锚式，最后1座为自锚式.相关文献研究结果表明，多塔悬索桥竖向刚度均较小，低阶振型通常表现为竖向弯曲振动.

由以上关于3塔悬索桥竖向振动的研究成果可以看出，由于多塔悬索桥的中间桥塔等效刚度较小的结构特点，1阶竖向振动一般表现为反对称竖弯，伴随着中塔纵弯振动；紧接其后，竖向振型表现为出主跨主梁对称竖弯振动.因此，本文针对多塔悬索桥竖向振动的研究主要集中于工程师较为关注的低阶竖向振动.

2 Rayleigh法应用于频率计算

Rayleigh方法的基本原理为：当系统进行固有振动时，如果不考虑阻尼力消耗能量，那么其动能与位能反复交换.对于保守系统，其结构总能量是守恒的.

如果结构在自由振动时，任一点、任一瞬间的位移可以表示时间和空间的函数，则可以通过能量守恒定理写出频率近似计算公式，如下：

综上所述，只要能近似写出的振型函数¯φ（x），即可以利用上式求出该结构的固有自振频率的近似解.

3 竖弯振型频率计算公式推导

3.1 基本假设

本文推导基于以下假定：（1）假定所有材料的应力应变关系满足虎克定律；（2）假定恒载为沿跨度均匀分布，且完全为缆索支承，因此在恒载作用下主缆线形为抛物线状；（3）假定吊索是稠密的，可比拟为仅在竖向有抗力的均匀膜，不考虑吊索的拉伸；（4）假定加劲梁为两端承受轴压力的等截面连续梁，不考虑加劲梁的竖曲线；（5）假定桥梁自由振动为静力平衡状态基础上产生的小幅度振动，整个过程结构刚度不变；（6）忽略主塔索鞍的纵桥向变位对主缆线形的影响；（7）假定主塔刚度较小，即在频率计算公式推导过程中忽略主塔刚度的影响.悬索桥为缆索体系结构，在恒载作用下主缆会产生较大的重力刚度，主塔纵向弯刚度则相对较小，相关学者在进行悬索桥自由振动基频近似计算时均忽略桥塔刚度的影响.

三塔自锚式悬索桥基本结构如图1所示.根据假设，恒载为沿跨度均布作用下，主缆在恒载下的成桥线形为二次抛物线.结构的竖向变形用v（x，t）来表示，如下式

式中：ψ（x）为假定的变形函数；z（t）广义时间坐标.在下文公式推导过程中，下标t，g，c分别为主塔、加劲梁、主缆.

图1 三塔自锚式悬索桥基本结构图

3.2 构件自由振动能量计算

多塔悬索桥结构由主缆、主塔（中间主塔及边塔）、主梁及吊索等主要构件组成.3塔自锚式悬索桥竖向弯曲自由振动的势能和动能计算如下.

1）竖向自由振动位能计算 主缆的位能由两部分组成：拉力变化产生的主缆应变能、主缆恒载拉力作用点变化产生的位置势能，可以表示为

式中：Hpi为第i跨主缆的水平拉力增量；lsi为与缆索线形有关的参数，定义为Hg为恒载作用下主缆的水平拉力，根据挠度理论可知为结构振动竖向变形函数.当忽略桥塔刚度的影响时，各跨主缆的水平拉力增量Hp均相同，则上式可以写成

自锚式悬索桥中，加劲梁处于压弯耦合的受力状态，其竖向自由振动过程中的位能主要由竖向弯曲应变能Uge1、加劲梁压缩应变能Uge2及恒载轴压力在加劲梁变形时产生的位能Uge3三部分之和.加劲梁总位能Uge可以表示为：

基于不考虑吊索拉伸的假定，当不考虑主塔振动影响时，自由振动分析时仅需考虑主缆、主梁的振动，总位能U可以表示为：

上式可以看出，对于自锚式悬索桥，结构振动总能量计算中，主缆与主梁位能表达式中的项相互抵消；然而，在地锚式悬索桥总位能表达式中则会保留有项.由此差别可以看出主缆锚固方式对悬索桥振动特性的影响规律：对地锚式悬索桥而言，恒载越大，则其振动总位能越大；然而，恒载大小对自锚式悬索桥的振动总位能则影响不大.两种桥型的振动总位能表达式的差异也导致了最后频率计算公式的不同（详细比较请见后文）.

2）竖向自由振动动能计算 当不考虑吊索拉伸时，可以认为主缆竖向变形与主梁一致，可以得到主缆竖向振动产生的动能Tc.因此，结构竖向振动总动能T为

式中：Tc，Tg分别为主缆和主梁的动能；mc为左右2根主缆质量集度之和.

3.3 自由振动中变形协调

由于自锚式悬索桥中的主缆直接锚固于梁端，全桥变形应满足如下平衡关系：缆索锚固点之间的水平投影缩短量应等于加劲梁两端水平距离的缩短量.可得到自锚式悬索桥的变形协调平衡方程（具体的公式推导过程请参见文献［8］）：

3.4 1阶反对称竖弯频率计算公式推导

不考虑主塔刚度影响时3塔自锚式悬索桥1阶反对称竖弯振型见图2.

图2 1阶竖向反对称振型示意图

自由振动的位移是由惯性力引起的，形状函数的假设必须满足实际边界条件，因此本文选取均布荷载作用下，两端简支的单跨梁的挠曲线近似作为1阶反对称竖弯振动的形状函数，各跨形状函数如下：

根据主梁振动的连续性，主梁在各主塔处的转角是连续的，可得：

由于3塔自锚式悬索桥为全对称结构，1阶反对称竖弯振动中，主缆索力水平增量Hp＝0.代入形状函数，得到位能和动能的最大值，分别如下式：

定义与边主跨跨径为关的参数γ0，如下式.

基于Rayleigh法，可以得到三塔自锚式悬索桥1阶反对称竖弯频率的近似计算公式：

3.5 1阶正对称竖弯频率计算公式推导

根据边跨和中跨的振动边界条件，分别选取形状函数如下：

基于以上形状函数表达式，结合边界平衡条件及变形协调方程，可以得到下式.

综合以上各式，可以得到3塔自锚式悬索桥1阶正对称竖弯频率的近似计算公式为

4 算例验证

以某3塔自锚式悬索桥为算例，其跨径布置为80m＋168m＋168m＋80m；主缆由四跨组成，主跨理论垂跨比为1∶6，边跨理论垂跨比为1∶12.88；主桥桥面宽43m；边塔及中塔采用相同的柔性主塔，承台以上塔高48.9m；全桥2根主缆；吊索间距7m.具体的结构基本参数见表1.

表1 工程基本结构参数（单位：m，kN，t）

4.1 方法1——有限元法求解

根据以上工程的结构参数，采用SAP2000建立三维有限元模型.模型中主塔和主梁采用Frame单元，其具有非线性属性，可以考虑单拉、大变形等效应；主缆及吊索采用cable单元，可以考虑实际主缆的单拉效应、应力刚化效应及大变形效应.支座边界条件采用节点耦合方式模拟.建立的三维有限元模型见图3.

图3 算例桥梁的有限元模型图

基于非线性恒载作用下的成桥状态进行结构的动力特性分析.使用子空间迭代法计算结构1阶反对称和正对称竖向振型及自振频率，见图4.

图4 有限元模型的模态分析结果

4.2 方法2——本文简化公式计算

根据结构基本信息，把已知参数代入式（13）、式（19），即可以快速计算出结构1阶反对称和正对称竖弯振型的频率.计算过程如下.

1）1阶反对称竖弯频率计算

表2 算例中竖弯基频对比 Hz

4.3 计算结果比较

由表2可以看出，本文推导的竖弯基频近似计算公式计算结果与有限元法计算结果吻合较好，误差在工程允许范围之内.因此，本文推导的公式可以适用于的3塔自锚式悬索桥竖弯基频的简化计算.

5 结束语

本文以3塔自锚式悬索桥为例，应用Rayleigh法推导了忽略中塔刚度影响下的多塔自锚式悬索桥1阶正对称和反对称竖弯频率计算公式.结合某工程算例，与有限元解相比较，验证本文公式计算结果具有良好的精度.可用于桥梁方案初选和桥梁初步设计阶段进行竖弯基频计算.

［1］鞠小华.三跨连续加劲梁悬索桥基频近似公式［J］.铁道工程学报，2003（2）：59－63.

［2］刘 斌.三塔悬索桥振动特性的研究［D］.成都：西南交通大学，2009.

［3］王志诚.自锚式悬索桥静动力特性挠度理论研究［D］.成都：西南交通大学，2006.

［4］YOSHIDA O，OKUDA M，MORIYA T.Structural characteristics and applicability of four－span suspension bridge［J］.Journal of Bridge Engineering.2004，9（5）：454－463.

［5］邓育林，何雄君.行波效应对大跨多塔悬索桥地震反应的影响分析［J］.武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2011，35（3）：443－447.

［6］司义德.大跨度三塔悬索桥静动力分析［D］.合肥：合肥工业大学，2010.

［7］房贞政，张 超，陈永健，等.武汉鹦鹉洲长江大桥抗震性能及减隔震措施研究报告［R］.福州：福州大学福建省海峡两岸土木工程防震减灾工程研究中心，2011.

［8］张 超.三塔自锚式悬索桥动力特性及地震响应研究［D］.福州：福州大学，2011.

［9］张 哲.混凝土自锚式悬索桥［M］.北京：人民交通出版社，2005.