毕达哥拉斯正交与内积空间的一个特征性质

孙公雨，郭 伟，计东海

(哈尔滨理工大学应用科学学院，哈尔滨150080)

正交性是欧氏几何中最重要的概念之一.随着研究的深入，这一概念被推广到赋范线性空间中.很多人对此进行了深入的研究，并提出了很多重要的广义正交的概念，如 Robert正交、等腰正交、Birkhoff正交、毕达哥拉斯正交等等.之后，很多学者开始研究满足什么样正交条件的赋范线性空间为内积空间，并取得了很多重要的成果.

设X是一个实赋范线性空间，若x，y∈X满足‖x－y‖2=‖x‖2+‖y‖2，则称x毕达哥拉斯正交于y，记为x⊥Py;若x，y∈X满足‖x+y‖ =‖x－y‖，则称x等腰正交于y，记为x⊥Iy.

本文主要讨论赋范线性空间上毕达哥拉斯正交与内积空间之间的关系，并证明若一个于维数不小于3的赋范线性空间X满足蕴含关系.

则X是一个内积空间.

在下文中我们称一个实二维赋范线性空间为一个Minkowski平面.

1 主要结果

引理1[1]:设X是一个赋范线性空间且dim X≥3，0＜ε0＜2.那么X是一个内积空间当且仅当不等式

不等式(1)可以被相应的等式所替代.这是因为Nordlander G[2]已经证明对于任意的赋范线性空间X，总是有

成立.所以我们有:一个维数不小于3的实赋范线性空间X是一个内积空间当且仅当存在ε0∈(0，2)使得

成立.

定理1:设X是一个实赋范线性空间且dim X≥3.若蕴含关系

成立，则X是一个内积空间.

引理 2[4]:设 X 是一个 Minkowski平面，x∈X{0}.则对于每一个0≤α≤‖x‖都存在惟一的一点y∈X(不计符号)使得‖y‖=α且x⊥Iy.

定理2:设X是一个实赋范线性空间且dim X≥3，则X是一个内积空间当且仅当蕴含关系

对于任意的x，y∈SX成立.

证明:充分性 由定理1，只需证明 x，y∈SX，x⊥Iy⇒‖x－y‖ =成立.

若不然，存在y'属于x与y张成的二维子空间的单位圆且 y'≠y，使 x⊥Py'.

因此有

又由

有

因此可得

故 x⊥Iy'.由引理2 知 y'= －y.于是 x⊥Py，与假设矛盾.

必要性 对于任意的 x，y∈SX，若 x⊥Py，则有

由于X为内积空间，由平行四边形法则:

故有

因此得到

故 x⊥P(－y).

对于维数小于3的空间X若蕴含关系x⊥Py⇒x⊥P(－y)对于任意x，y∈SX成立，则X是一个内积空是否成立呢?答案是否定的，下面我们给出一个反例.

我们考虑具有范数为的二维实赋范线性空间X=(R2，‖‖8)(R表示实数集)，我们知道X的非方常数为即 sup{‖x

对任意满足条件x⊥Py的x，y∈SX，根据文献[3]有‖x+y‖8=成立.因此 x⊥P(－y).亦即蕴含关系

在X上成立.但是，X的单位圆为一个正八边形，如图1所示.

图1 范数为‖·‖8的二维实赋范线性空间的单位圆

显然，X并不是内积空间.

2 结语

本文主要讨论了维数不小于3的实赋范线性空间上等腰正交、毕达哥拉斯正交与内积空间的关系并证明一个于维数不小于3的赋范线性空间X若 x⊥Py⇒x⊥P( －y)对于任意 x，y=SX成立，则 X是一个内积空间.但是该结果在维数小于3的实赋范线性空间上不成立.

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