一道平面几何题的六种证法

和玉梅

（丽江师范高等专科学校，云南丽江674100）

平面几何是中学数学的基本内容之一。 平面几何题千变万化，证法灵活多样，一题可有多种证法。 在平时的教学中，通过一题多证，可以加深学生对各学科知识的系统理解， 培养学生的逻辑推理能力，进一步拓展学生的思维水平；使他们能熟练、系统地运用掌握的基础知识去分析问题和解决问题，更重要的是提高和培养了学生综合解题能力和思维能力。下面以一道经典平面几何题为例，作六种证法和总结。

1 题目

题目：如图1，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，

直线DC 过E 点交AD 于D，交BC 于C。

求证：AD+BC=AB

图1

2 证法

证法一：【分析】如图2，在AB 上截取AF，使AF=AD，再证FB=BC即可，此为截长法。

图2

【证明】如图2，在AB 上截取AF，使AF=AD

在△ADE 和△AFE 中，

∵AD=AF，∠1=∠2，AE=AE

∴△ADE≌△AFE

∴∠ADE=∠AFE

∵AD∥BC，∴∠ADE+∠ECB=180°

又∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠ECB

在△BEF 和△BEC 中，

∠3=∠4，∠EFB=∠ECB BE=BE

∴ △BEF≌△BEC，∴BC=BF

因此，AD+BC=AF+BF=AB

即：AD+BC=AB

证法二：【分析】如图2，作∠AEF 使∠AEF=∠DEA，EF 交于F

则AF=AD，再证FB=BC 即可

证明：作∠AEF 使∠AEF=∠DEA，EF 交于F

在△ADE 和△AFE 中，

∵∠AEF=∠DEA，∠1=∠2，AE=AE

∴△ADE≌△AFE

∴∠ADE=∠AFE

∵AD∥BC，∴∠ADE+∠ECB=180°

又∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠ECB

在△BEF 和△BEC 中，

∠3=∠4，∠EFB=∠ECB BE=BE

∴△BEF≌△BEC，∴BC=BF

因此，AD＋BC＝AF＋BF＝AB

即：AD＋BC＝AB

图3

证法三：【分析】由AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4 得

∠BAE＝90° AE⊥BE。

可延长AD、BE 交于点F

再证DF＝BC，此为补短法。

【证明】延长AD、BE 交于点F

∵AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4

可得，∠BAE＝90°，AE⊥BE

∴Rt△BAE≌Rt△FAE，

∴AB＝AF、BE＝EF

从而可证，△FDE≌△BEC

DF＝BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

图4

证法四：【分析】如图4，因点E 是∠DAB 和∠CBA 的平分线的交

过E 点作EF⊥AB 交AB 于F、EG⊥BC 交BC 于G、EH⊥AD 交AD 的延长线于H，则EF=EG=EH

从而，S△EDA+S△EBC=S△EAB， 利用三角形面积公式再证AD+BC=AB即可，此为面积法。

【证明】过E 点作EF⊥AB 交AB 于F、EG⊥BC 交BC 于G，EH⊥AD 交的延长线于H，

∵∠1=∠2，∠3=∠4

∴EF=EG=EH

从而，Rt△EHA≌Rt△EFA

Rt△EFB≌Rt△EGB

Rt△EHD≌Rt△EGC

∴S△EDA+S△EBC=S△EAB

∵EF=EG=EH

∴AD+BC=AB

证法五：【分析】由AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，得

即可证得AD+BC=AB ，此为等量代换法。

【证明】取AB 的中点，连接EF

∵AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠1+∠3＝90°

∴△EAB 是Rt△

∴EF=AF=BF=1 2 AB

从而，∠1=∠2=∠5

∠3=∠4=∠6

∴AD∥EF∥BC

∴EF 是梯形ABCD 的中位线，

∴AD+BC=AB

证法五：【分析】如图5，过点E 作EF∥AD∥BC 交AB 于点F，则

∠AEF=∠1=∠2，故EF=AF，同理EF=BF

从而，EF 是梯形ABCD 的中位线，从而，EF＝1 2 （AD＋BC）

又由由AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4 得

即可证得AD+BC=AB ，此为等量代换法。

图5

【证明】过点E 作EF∥AD∥BC 交AB 于点F，

则∠AEF＝∠2，又因为∠1=∠2，

∴EF＝AF，同理可证EF＝BF

∵AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠1+∠3＝90°

∴△EAB 是Rt△

∴AD+BC=AB

通过本例，挖掘了“截长或补短法”、“面积法”“等量代换法”等解决平面几何问题的四种数学思想和方法，这也是平面几何中解决线段间关系问题最常用的几种方法。

［1］雷君,毕晓欣.三点一测丛书[M].科学出版社,龙门书局,1998.