希尔伯特空间H中两种维数的比较

2013-08-15吴亚敏

太原师范学院学报(自然科学版) 2013年3期

吴亚敏

（鄂东职业技术学院，湖北黄冈438000）

0 引言

希尔伯特空间H（Hilbert space）由大卫·希尔伯特提出，是一个完备的内积空间.它是有限n维欧几里得空间Rn向无穷维空间的推广，又称为无穷维欧几里得空间，也是巴拿赫空间B（Banach space）的特例.巴拿赫空间B是一个完备的赋范线性空间.

希尔伯特空间H首先是一个内积空间，其上有距离和角度的概念，以及由此引伸而来的正交性和垂直性概念和结果；其次希尔伯特空间H还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分的大部分概念和结果都可以推广到希尔伯特空间H中.希尔伯特空间H为基于任意正交系上的多项式表示的傅里叶级数和傅里叶变换提供了一种有效的表达式，这也是泛函分析研究的基本对象之一，并且成为量子力学，积分方程，正交级数理论等方面研究问题的重要工具.

对于一个希尔伯特空间H来说，维数的概念可以有两种涵义.由于希尔伯特空间H是一个由向量组成的线性空间，它有一个线性维数，又由于希尔伯特空间H还是一个由向量组成的内积空间，它又有一个正交维数.统一理解和比较这两个概念，必须明确希尔伯特空间H的所有基（basis）有共同的基数（cardinal number），然后把所有基的这个共同的基数定义为相应的维数.这两个概念的区别在于基的定义不同[1].希尔伯特空间H的Hamel基（也叫做线性基）指的是希尔伯特空间H的极大线性无关子集（如果一个无穷集的每一个有限子集都是线性无关的，而且每一个向量是任一Hamel基中有限个向量的线性组合，那么这个无穷集称为线性无关的）.希尔伯特空间H的Schauder基（也叫正交基）指的是希尔伯特空间H的一个极大标准正交子基（对线性理论来说，有限项展开式的合适的类比是希尔伯特空间中常用的富里叶展开式）.

1 主要结果

定理1 如果一个希尔伯特空间H的线性维或正交维中有一个为有限的，那么另一个也是有限的，且两者相等.

证明若希尔伯特空间H的线性维或正交维中有一个是有限的，则希尔伯特空间H一定是有限的n维欧几里得空间Rn，而有限的n维欧几里得空间Rn中极大线性无关向量组与极大标准正交基可以相同，因此希尔伯特空间H线性维数与正交维数相等，都是有限的n维.

推论n维希尔伯特空间H与n维欧几里得空间Rn同构[2].

定理2 如果一个希尔伯特空间H正交维是无穷的，那么其线性维大于或等于（2的次方）.

证明主要依据是集合论中一个有着若干应用的奇妙结论:存在一个以正整数集的无穷子集为元素的具有基数为（2的0次方）的集类｛Jt｝，使当s≠t时均有Js∩Jt有限.下面介绍这种集类的构造法:由于正整数与有理数之间有着一一对应，只须证明具有上述性质的诸有理数集的存在性即可.这又只须对每一实数t，令Jt表示以t为其唯一聚点的无穷有理数集即可.

现在假设｛e1，，e2，e3…｝是希尔伯特空间H的一个可数标准正交集，又令（富里叶展开式）是一个任意向量，它使得对一切n都有ξn≠0.如果｛Jt｝是如上所述的一个正整数集类，记，可以肯定，向量集｛ft｝线性无关.事实上，设有诸f的一个有限线性组合为0，即，由于对每一个i≠1，集Jt1含有无穷多个不属于Jti的整数，得知Jt1至少含有一个整数，如n，不属于任一Jt1（i≠1），由此推知α1ξn＝0，由ξn≠0，得α1＝0.同理可证对每一个i＝1，2，…，n，都有αi＝0.

推论1 希尔伯特空间H的线性维数大于或等于正交维数.

推论2 无穷维希尔伯特空间H有一正交子集与正整数集同构.

推论3 无穷维希尔伯特空间H有一线性无关子集与实数集同构.