无网格伽辽金方法在钢筋混凝土梁开裂问题中的应用分析

（武汉科技大学理学院，湖北 武汉 430065）

1 概述

在现代建筑施工中，混凝土是一种非常重要的建筑材料，由于混凝土结构在通常情况下都是带裂缝工作的，因此其非常重要的一个特征是抗拉强度非常低。裂缝导致应力和位移发生突变，这是混凝土非线性分析的非常关键的因素。对于混凝土裂缝的处理是否适当以及正确的分析混凝土结构一个非常复杂的问题。目前，采用传统的有限元法处理裂缝的方式包括三种，一种是把裂缝作为单元边界处理，该方法基本思想简单，并且其和真实情况比较符合，但是计算过程中比较繁琐，并且需要增加新的节点和单元，计算效率非常低；第二种是采用弥散裂缝的方法，该方法使用简单，易于实现程序，目前是一种使用最为广泛的方法，但是，该方法的不足是很难得到单条裂缝的宽度，裂缝扩展方向等相关信息；第三种是利用断裂力学方法，构造一个包含裂缝的单元，这种方法的优势是计算结果精度高，但是随着裂缝发展的需要，要不断的修改单元类型和放置新型的包含裂缝的单元，因此该方法使用起来过程也非常繁琐，并且效率低下。

随着无网格方法的快速发展，目前在固体力学计算过程中，已经不再需要单元网格，因此修改节点分布时非常的简单，并且无网格方法非常适合断裂分析领域，因此，本文基于笔者多年的工作经验，在钢筋混凝土梁裂开的问题中，引入了无网格伽辽金方法，以便提高混凝土数值计算过程中的效率和结果的精确度。

2 无网格伽辽金方法应用中关键问题

2.1 影响域的设定和裂缝边界的处理

在采用无网格伽辽金方法处理混凝土梁裂缝问题时，本文采用最小二乘法构造函数。由于混凝土梁裂缝的扩展，节点和高斯积分点之间的关系是在不断的连续变化的，因此，本文在使用过程中，在处理影响域的设定和裂缝边界处理时，以及节点和高斯积分点之间的关系，可以采取以下方法。

（1）判断节点和高斯积分点之间的关系时，本文针对某一高斯积分点Pint，首先判断各个节点和它之间的关系，将该高斯积分点和节点之间进行连线，如果连线和某个边界具有相交的关系，则假设这个节点该边界覆盖了，则无需在计算该高斯积分点。

（2）对于剩余的未被覆盖的节点，选取六个和该高斯积分点距离最近的节点，以便参与该高斯积分点的相关运算。

（3）本文将计算的最远节点的距离作为高斯积分点P 的相关影响半径；

重复以上步骤，对于每个高斯积分点进行计算，就可以得到无网格伽辽金方法在计算时需要的各个相关几何参数。

2.2 裂缝的分类

为了区分宏观裂缝和微观裂缝，我们可以采取以下方法进行分类：

（1）假设某一阈值，混凝土的拉应变能力小于该阈值时，我们可以认为此时混凝土的裂缝基本上是肉眼不可见的微裂缝，这样混凝土的裂缝依然可以承受部分的拉应力。对于混凝土来讲，在进行固体力学分析时依然可以采用传统的弥散裂缝模型。

（2）当混凝土的拉应变大于上述阈值时，本文即认为此时混凝土中已经存在的裂缝是肉眼可以看清的，称为宏观裂缝，此时可以采用无网格伽辽金方法进行力学分析。

2.3 宏观裂缝的生成

在进行宏观裂缝生成过程中，由于无网格伽辽金方法无需网格划分，因此可以非常方便的在任意位置上布置节点和边界生成可能产生的裂缝。生成裂缝的具体方法包括以下三个步骤：

（1）对于确定的荷载步，将距离边界最近的高斯积分点的拉应变值外推出构件边界上相关位置点Pext 的拉应变值。

（2）如果某一个边界上的外推点Pext具有的最大拉应变值大于阈值Q，则认为该点将会产生宏观裂缝。

（3）在外推点Pext 两侧沿着原构件边缘方向增加两个新的节点，每一个点具有一个很小的偏移量，同时延伸外推点的最大压应力方向在构件内部增加一个裂缝尖端点N，该节点距离边缘为2 倍的高斯点间距。使用三个新增节点组成两个新的边界，也即是裂缝边界。

（4）建立新的节点和边界分布下的节点和高斯积分点的关系，重新计算荷载步，得到裂缝尖端节点N 的最大拉应变Qmax。

（5）如果Qmax 大于Q，则此时的裂缝深度比给定的深度要大，需要重新修正裂缝深度，可以将Q 继续延现有的裂缝移动1 倍的高斯点间距。

（6）重复步骤（4），（5），知道最大拉应变Qmax 小于Q，则可以认为当前荷载步下构件的宏观裂缝已经生成。

结语

裂缝作为混凝土的一个非常重要的力学特性，在进行固体力学计算分析时，具有非常关键的作用。一般的，混凝土中存在有着许多大量的宏观裂缝和微观裂缝，因此在进行混凝土裂缝分析时，该问题非常复杂。本文在进行混凝土分析时，将混凝土宏观裂缝分析时引入了无网格伽辽金方法，并针对无网格伽辽金方法应用过程中的关键问题进行了分析和介绍。总而言之，无网格伽辽金方法在混凝土裂缝处理时取得了非常好的结果。

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