钢筋混凝土牛腿结构拉压杆模型及配筋设计

李树山，高丹盈，解 伟

（1.华北水利水电学院 土木与交通学院，郑州450011；2.郑州大学 新型建材与结构研究中心，郑州450002）

国际上现行混凝土设计规范中，钢筋混凝土梁在受弯、剪、扭等荷载作用下，结构设计采用了桁架模型理论。但是基于标准桁架模型的设计只适宜于结构的普通部分。在几何或荷载的不连读区域，如集中力作用点、孔洞周围、框架节点、支托等，桁架模型就不适用，这些部位一般只能根据试验或凭经验设计。为了使结构的所有部分都按照有依据的和协调一致的设计思想来设计，从桁架模型推广发展而来的拉压杆模型（strut－and－tie model）的方法逐渐成熟而被推荐应用［1］。拉压杆模型由节点、压杆和拉杆组成，可按结构的弹性主应力迹线建模，充分发挥了桁架轴力计算的简便［2］。根据截面的特性和受力情况，截面可分为B区（B表示梁或伯努利）和D区（D表示不连续、扰乱）［3］。实践表明，拉压杆模型用于D区的计算具有相当好的工程精度［4－11］。根据美国规范ACI 318－08［12］，介绍了拉压杆模型的设计计算方法，并根据中国规范GB 50010－2010［13］的设计表达式，建议了采用国内规范参数表达的牛腿结构承载力的拉压杆模型计算公式，并进行了安全度分析。

1 拉压杆模型介绍

图1为深梁结构的拉压杆模型，由压杆、拉杆和节点组成。拉压杆模型以塑性理论为基础［1］，拉杆代表钢筋的作用，压杆代表受压混凝土的作用。拉杆和压杆轴力可通过节点平衡法或截面法等方法求得。下面根据ACI 318－08规范，对拉压杆模型的组成及设计表达式进行介绍。

图1 深梁结构的拉压杆模型

1.1 节点

拉压杆模型连接处的点，作用有拉压杆的轴力和作用于交点处的集中力，称之为节点，如图2所示，图2（a）显示一个C－C－C节点模型，即3面受压的节点。节点周围的混凝土假定为可以通过节点传递拉压力，称之为节点区。按传统做法，采用流体静力学的节点区域，如图3所示。流体静力学节点区域含有垂直于作用于节点处的杆轴线的承载面，并在承载面上受均部力。如果节点区表面的压力等于3个压杆中的合力，节点区域3边的长度比例wn1∶wn2∶wn3的值应与C1∶C2∶C3的值相同。流体静力学节点区域表面垂直于作用于节点处的杆轴线。这些节点区被称为流体静力学节点区的原因是同一平面内的作用力在任何方向的作用都是相同的。严格来说，这一术语是不正确的，因为同一平面内的作用力并不等效于非同一平面的作用力。

节点区标准抗压强度Fnn

式中：fce为节点区混凝土的有效抗压强度。ACI318－08规定，除采用被实验分析研究验证的约束钢筋，拉压杆模型中节点区的任意表面积有效抗压强度不应超过下述规定：

其中：βn可按表1规定取值；f′c为美国规范中圆柱体混凝土的抗压强度设计值；Anz为节点区垂直于拉杆或压杆的截面面积。

图2 节点类型

图3 节点区示意图

1.2 压杆

在设计中，压杆通常被简化为等截面的压缩构件，若压杆两端节点区强度不同或有不同的支撑长度引起两端抗压强度fce不同时，压杆可简化为一均匀的变截面压缩构件。

无纵向钢筋的压杆标准强度应取压杆两端较小的Fns，

式中：Acs为压杆端部横截面积，计算Acs时所取的压杆宽度Ws，应为压杆两端垂直于主轴方向的较小者。压杆宽度示意图见图2（a）。在二维结构中，如牛腿，压杆厚度可取为构件宽度。fce为压杆或节点区混凝土有效抗压强度中的较小值。其中，压杆混凝土有效抗压强度fce取

式中：βs按照表1取值；f′c为美国规范中的圆柱体混凝土的抗压强度设计值。

表1 ACI 318－08规定的压杆和节点有效抗压强度

1.3 拉杆

拉杆由钢筋或预应力筋及外包混凝土组成。外包混凝土也包括以上定义的用于拉压杆力锚固的节点区混凝土部分，拉杆中混凝土不参与拉杆受力。尽管在设计中不予考虑，外包的混凝土却能够减少荷载作用下特别是工作荷载作用下的拉杆延长率。

拉杆标准强度Fnt为

其中：（fse＋Δfp）≤ftp，对非预应力构件Atp＝0。采用有粘结预应力筋时，Δfp＝420MPa，采用无粘结预应力筋时，Δfp＝70MPa，其余情况可根据实验分析确定。

拉压杆模型中拉杆主轴方向应与拉杆中钢筋主轴方向重合。设计拉杆有效宽度Wt时，可根据受拉钢筋的分布，采用以下规定：1）若拉杆配置单层钢筋，拉杆有效宽度取5倍钢筋直径，见图4（a）；2）拉杆宽度的最大值可取为与节点区相对应的宽度：

其中：fce为节点区混凝土有效抗压强度值。若拉杆宽度超过（1）计算值，拉杆钢筋应均匀分布在拉杆宽度和厚度范围内，见图4（b）。

1.4 拉压杆模型设计步骤

拉压杆模型能够简化为桁架模型，应能将设计极限荷载转移至支座或相邻的B区域。结构构件中D区域的设计主要包括以下4个步骤：1）定义并规定D区域范围。2）计算D区域所有边界上所受合力。3）选择合理的桁架模型承受D区域所受合力。拉杆和压杆的主轴应分别近似的与压缩和张拉区域主轴重合。计算拉杆和压杆受力。4）应用第3）步计算出的各杆件受力与有效混凝土强度，计算压杆和节点区的有效宽。应用拉杆区钢筋强度计算拉杆钢筋用量。

2 建议的拉压杆模型设计方法

2.1 设计表达式

美国规范ACI 318－08中承载力设计表达式不同于中国规范GB 50010－2010，美国规范中Fu相当于中国规范的荷载效应设计值，φFn相当于中国规范的抗力设计值。因此，在进行拉压杆模型设计时，应考虑两国规范设计表达式的差异性，进行必要转换。

图4 钢筋层数对拉杆有效宽度的影响

根据中国规范规定，钢筋混凝土结构承载能力极限状态的设计应满足下式要求：

式中：S为承载能力极限状态的作用组合的效应设计值；R（＊）为结构构件的抗力设计值；γ0是结构重要性系数；fc、fs为材料强度设计值；ak为构件几何参数标准值。

2.2 荷载效应

GB50010－2010采用以可靠度为基础的分项系数设计法，荷载设计值为分项系数乘以效应标准值。ACI318－08规范采用基于可靠度的荷载系数，乘系数的荷载相当于中国规范的荷载设计值［14］。因此，在参考ACI 318－08规范进行拉压杆模型进行设计时，荷载效应采用荷载效应设计值。

2.3 压杆和节点区的受压承载力

对于压杆和节点区，其承载力主要取决于混凝土抗压强度，根据文献［15］的研究，φ×0.85f′c与中国规范中的fc相近似，因此压杆和节点区的承载力计算公式可直接套用ACI 318－08规范公式，仅将其用GB 50010－2010规范中的符号表示。

按式（4）和（5），压杆乘系数的强度按下式计算

因此，对于式（9）采用中国规范的符号表示，压杆的受压承载力Nsu为

式中：折减系数φ＝0.75；fc为中国规范中的混凝土抗压强度设计值；βs按表1取值。

按照式（2）和（3），节点区乘系数的强度按下式计算

因此，对于式（11）采用中国规范的符号表示，节点区承载力Nnu为

式中：折减系数φ＝0.75；fc为中国规范中的混凝土抗压强度设计值；βn按表1取值。

2.4 拉杆的受拉承载力

按式（6），拉杆乘系数的强度按下式计算

式中的fy是ACI318－08规范中的钢筋屈服强度规定值。

ACI318－08中抗力折减系数φ相当于GB 50010－2010规范中抗力分项系数γR的倒数，即由于ACI 318－08规范认为“D区”受剪破坏均为脆性破坏，故其拉压杆模型中压杆、拉杆或节点区的承载力计算统一取φ＝0.75。对于拉杆，其承载力主要取决于钢筋受拉强度，因与ACI318－08规范的φ＝0.75相差较大，故在抗拉承载力设计中引入抗力折减系数φ1介于0.82和0.9之间，近似取φ1＝0.85。

因此，对于公式（13）采用中国规范的符号表示，即拉杆的受拉承载力

式中：fy是GB 50010－2010规范中钢筋屈服强度设计值，与公式（13）中的概念fy不同。

2.5 安全度分析

针对钢筋混凝土牛腿结构，采用文中建议的拉压杆模型设计方法时，在GB 50010－2010规范中恒荷载、活荷载标准值、普通钢筋、预应力钢筋强度标准值与ACI 318－08规范中恒荷载、活荷载名义值、普通钢筋、预应力钢筋强度规定值相同的前提下，由于按GB 50010－2010规范计算的荷载效应小于ACI 318－08规范，但抗力设计值也小于ACI 318－08规范，因此，按文中方法设计的压杆安全度水平与按ACI 318－08规范方法大体相当；而按本文方法设计的拉杆和节点的安全度水平较按美国规范方法低，但仍与GB 50010－2010规范安全度水平相当。

3 算例

如图6所示的牛腿结构。承受的集中永久荷载GK＝500kN，可变荷载QK＝250kN。采用拉压杆模型方法对牛腿构件进行设计。

图5 牛腿结构尺寸

图6 牛腿结构拉压杆模型

解：混凝土强度等级为C50，fc＝23.1N／mm2；纵向受力钢筋选用 HRB500级，fy＝435N／mm2，箍筋采用HRB335级，fyv＝300N／mm2，Es＝2.1×105N／mm2。保护层厚度c＝40mm。竖向荷载设计值V＝1.2GK＋1.4QK＝1.2×500＋1.4×250＝950kN，根据已有研究，承受的水平荷载设计值可取为N＝0.2V＝190kN。

1）加载处承压板尺寸验算

支座承压板取为600mm×150mm×20mm。承压板面积Ac＝600×150＝90 000mm2。

2）建立拉压杆模型，进行内力和尺寸估算

建立如图6所示的拉压杆模型。假定拉杆AB的中心距离牛腿上表面50mm。因此，h0＝800－50＝750mm。

根据计算的宽度a1确定压杆CE中心的位置。根据力的平衡，NCE＝950kN。

通过静力分析求得的拉压杆模型中各杆件的内力如表2所示，正号表示受拉，负号表示受压。

表2 静力分析得到的拉压杆内力

3）拉杆设计

拉杆AB所需要的钢筋面积

选取8D16钢筋，面积为1 608mm。

4）节点区设计和锚固验算

为了锚固拉杆AB，采用端部焊接钢筋。为了满足节点区极限应力，拉筋必须埋入混凝土的有效高度至少为

实际节点区高度为100mm，满足要求。

5）压杆验算

首先计算压杆宽度，然后验算这一宽度是否符合实际空间要求。

斜压杆AC极限应力下的宽度要求

如图6所示，斜压杆宽度符合牛腿区的外形尺寸。因此，可以接受这一方案。

6）裂缝控制要求的最小配筋

对于斜压杆，为使βs取为0.75，箍筋最小配筋必须满足另外，规范要求闭合箍筋在拉杆AB邻近处的2／3有效高度范围内均为布置，即2／3×750＝500mm。这些箍筋的面积必须大于0.5（As－An），其中An为抵抗水平拉力的钢筋面积。因此，所需最小面积为0.5（As－An）＝0.5

取用8－B10的闭合箍筋，平均间距为500／8＝62.5mm。

这一钢筋量满足二者的要求，配置箍筋为B10＠62.5，保护层厚度为30mm。

4 结 语

中国混凝土设计规范中关于牛腿的设计方法，都是根据试验回归统计而来，缺少理论模型的支持，而拉压杆模型能够较好地解决“D区”的受力问题。笔者根据ACI 318－08规范，采用GB 50010－2010规范设计参数，提出了适用于中国规范中牛腿结构的拉压杆设计方法。算例分析表明，该方法具有受力机理明确、概念清晰的特点，设计过程易于理解与掌握，便于设计人员灵活掌握牛腿结构设计。

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