数字音频里LMS算法及其改进算法研究

但 晔 黄 虎

(成都理工大学信息工程学院，四川 成都 610061)

1.引言

LMS算法具有低计算复杂度、在平稳环境中的收敛性好、其均值无偏地收敛到wiener解和利用有限精度实现算法时的稳定性等特性，使其成为自适应算法中应用最广泛的算法。本文对LMS算法及其改进算法(NLMS算法、泄露LMS算法等)进行了详细的研究，并对其性能及应用进行了仿真。

2.LMS及其改进算法

2.1 自适应滤波

自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲击响应或滤波参数是随外部环境的变化而变化的，经过一段自动调整的收敛时间达到最佳滤波的要求。自适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参数量值，按照一定准则改变滤波参量，以使它本身能有效地跟踪外部环境的变化。原理如图1所示，图中离散时间线性系统表示一个可编程滤波器，它的冲击响应为h(n)，或称其为滤波参数。自适应滤波器输出信号为y(n)，所期望的响应信号为d(n)，误差信号e(n)为d(n)与y(n)之差。期望响应信号d(n)是根据不同用途来选择的，自适应滤波器的输出信号y(n)是对期望响应信号d(n)进行估计的，滤波参数受误差信号e(n)的控制并自动调整，使y(n)得估计值于所期望的响应d(n)。

图1 自适应滤波器原理图

2.2 LMS算法

图2 自适应LMS算法信号流图

最小均方(LMS)算法，这是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，而且这种瞬时估计法是无偏的。利用时间n=0的滤波系数矢量为任意的起始值w(0)，然后开始LMS算法的计算，通过推导我们得到其更新公式：

收敛因子应满足以下收敛条件：

2.3 LMS算法改进形式

2.3.1 NLMS算法

如果不希望用与估计输入信号矢量有关的相关矩阵来加快LMS算法的收敛速度，那么可用变步长方法来缩短其自适应收敛过程，其中一个主要的方法是归一化LMS(Normalized LMS，缩写为NLMS)算法。其更新公式如下式所示：

2.3.2 泄露LMS算法

泄露LMS算法的迭代公式如下式所示：

收敛因子应满足下列收敛条件：

3.组合自适应滤波器

组合自适应滤波器的基本思想是对两个或两个以上的自适应LMS算法并行实现。在每次迭代中选择最合适的算法，选择最佳的加权系数值。最佳的加权系数是指在给定的时刻，与相应的维纳矢量值最接近的值。设Wi(k，q)是LMS算法中，参数为q，时刻为k时的第i个加权系数，在瞬间选择参数q和系数k。对所有算法归一化：LMS：q≡ ，GLMS：q≡a，SA：q≡ 。LMS算法的执行主要取决于q值，在每个迭代中有一个最佳值qopt，得到最佳表现的自适应算法。在组合自适应滤波器中，含有几个相同类型的LMS算法，但其参数q是不同的。

加权系数是分布在Wi*(k)周围的随机变量，它与bias(Wi(k，q))及方差 σq2的关系式如下[4，9]：。

(7)式中的概率P(κ)取决于κ的值。例如当κ=2且满足高斯分布，则 P(κ)=0.95。

Wi(k，q)的置信区间定义为：

从(7)式到(8)式可知，只有 |bias(Wi(k，q))|<κσq，则 Wi*(k)∈Di(k)，与q无关，这意味着，对于较小的偏差bias，对于同一LMS算法的不同q值，其置信区间相交。当bias变大，不同q值的置信区间的中心点距离增大，他们将变得不相交。

由于对bias(Wi(k，q))没有先验知识，我们将使用一种特殊的统计方法得到的自适应算法的选择准则，即q的取值。这个准则遵循以下权衡条件：偏差与方差具有相同数量级，即 |bias(Wi(k，q))|≌κσq[4]。

组合自适应算法如下：

第1步：首先设定Q={qi，q2，…}，对不同的q值计算Wi(k，q)。

第2步：估算每个算法的方差σq2。

第3步：判断各算法的Di(k)是否相交。从具有最大方差值的算法开始，再到方差值较小的算法。根据(7)，(8)和上述的权衡条件，可按下式进行判断：

若上式成立，则Di(k)相交。

如果Di(k)不相交，则选择具有最大方差值的算法。两个置信区间不相交意味着满足了权衡条件，所以选择具有最大方差值的算法。如果Di(k)相交，则偏差已经很小，因此，检查另一对新的加权系数，如果已经是最后一对，则选择具有最小方差值的算法。

第4步：转到下一时刻。

Q集的最小元素个数L=2。在这种情况下，其中的一个q应能提供最大方差，而另一个q应提供稳定状态下的小方差。通过观察发现，在这两个q值之间增加q的数量，可以对算法的瞬态行为进行一定的改进。

需要注意的是，在(9)式中只有方差是未知的。在仿真中我们参考文献[4]对σq2进行估算：

对于稳定状态下的标准的LMS算法，σq2=qσn2。

组合自适应算法的复杂性取决于组成算法 (第1步)和决策算法(第3步)。由于使用并行硬件实现，并行算法的加权系数计算并未增加计算时间，但增加了硬件要求。方差估算(第2步)由于使用独立的硬件实现，所以其对算法复杂度的增加可以忽略不计。

4.结论

通过以上分析可知，如果不希望用与估计输入信号矢量有关的相关矩阵来加快LMS算法的收敛速度，那么可用变步长方法来缩短其自适应收敛过程，其中一个主要的方法是归一化LMS算法，为了达到快速收敛的目的，必须合适地选择变步长μ(n)的值，一个可能的策略是尽可能多的减少瞬时平方误差，即用瞬时平方误差作为均方误差MSE的简单估计。一般来说，较小的收敛因子会导致收敛速度较小的失调。

当输入信号自相关阵的一个或多个特征值为0时，由于非线性量化的影响，自适应滤波器有可能不能收敛。通常，采用泄露技术来防止这一现象的发生。在自适应滤波器权系数的更新中引入一定的非线性变换，可以在一定程度上简化权系数更新过程中的乘法运算，并因此简化LMS自适应滤波器的硬件或程序实现。

[1]何振亚著.自适应信号处理[M].北京：科学出版社，2002.

[2]刘波，文忠，曾涯等.MATLAB信号处理[M].北京：电子工业出版社，2006.

[3]邱天爽，魏东兴，唐洪，张安清等.通信中的自适应信号处理[M].北京：电子工业出版社，2005.

[4]李勇，徐震等.MATLAB辅助现代工程数字信号处理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2002.