剔“杂”补“漏”
2013-07-30王朝璇
王朝璇
求曲线的轨迹方程的过程中往往会产生“杂”点和“漏”点,下面就一些常见的问题说明如何剔“杂”补“漏”,保证轨迹方程的纯粹性和完备性.
一、利用已知条件剔“杂”
例1 如图,动点[M]与两定点[A(-1,0)],[B(2,0)]构成[ΔMAB],且[∠MBA][=2∠MAB],设动点[M]的轨迹为[C].求轨迹[C]的方程.
解析 设[M]点的坐标为[x,y],
当[∠MBA=90°]时,点[M]的坐标为[2,±3].
当[∠MBA≠900]时,[x≠2],
由[∠MBA=2∠MAB],
有[tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB],
即[-yx-2=2|y|x+11-(yx+1)2],化简后有[3x2-y2=3],
而点[2,±3]也在曲线[3x2-y2=3]上.
点拨 剔“杂”:由已知条件[∠MBA=2∠MAB]有[x>0,y≠0].故轨迹[C]的方程为[3x2-y2=3x>1].
二、利用图形剔“杂”
例2 如图,椭圆[C0]:[x2a2+y2b2=1(a>b>0],[a,b]为常数),动圆[C1:x2+y2=t21],[b 解析 设[Ax1,y1,]则[Bx1,-y1.] 又知[A1-a,0,A2a,0], 则直线[A1A]的方程为[y=y1x1+ax+a],① 直线[A2B]的方程为[y=-y1x1-ax-a],② ①×②有,[y2=-y21x21-a2x2-a2]. ③ 由点[Ax1,y1]在椭圆[C0]上,有[x21a2+y21b2=1], 从而[y21=b21-x21a2],代入③有[x2a2-y2b2=1]. 点拨 剔“杂”:由图形知,[xM<-a,yM<0],故直线[AA1]与直线[A2B]交点[M]的轨迹方程为[x2a2-y2b2=1][x<-a,y<0]. 三、利用曲线的定义剔“杂” 例3 动圆[P]过点[N(-2,0)],且与圆[M]:[(x-2)2+y2=8]外切,求点[P]的轨迹方程. 解析 设[P][(x,y)],因为圆[P]过点[N], 所以[PN]是该圆的半径, 又因为动圆[P]与圆[M]外切, 则[PM=PN+22],即[PM-PN=22]. 故所求的方程为[x22-y22=1]. 点拨 剔“杂”:由定义知,点[P]的轨迹是以[M,N]为焦点,实轴长为[22]的双曲线的左支,其轨迹方程为[x22-y22=1(x-2)]. 四、利用变量的取值范围剔“杂” 例4 动点[Px,y]满足[x=1-t21+t2y=2t1+t2t∈R],求点[P]的轨迹方程. 解析 联想到三角中的万能公式,显然有[x2+y2=1]. 点拨 剔“杂”:[x=1-t21+t2=-1+21+t2≠-1],故点[P]的轨迹方程为[x2+y2=1x≠-1]. 五、利用“[Δ]”剔“杂” 例5 已知双曲线[x2-y22=1],过点[A1,1]能否作直线[l],使[l]与双曲线交于[P,Q]两点,并且[A]为线段[PQ]的中点?若存在,求出直线[l]的方程,若不存在,说明理由. 解析 假设符合条件的直线存在,设[Px1,y1],[Qx2,y2], 则[x21-y212=1],[x22-y222=1]. 两式相减有[y1-y2x1-x2=2x1+x2y1+y2], 又[A]为线段[PQ]的中点, 则[x1+x2=2],[y1+y2=2]. 所以直线[l]的斜率[k=y1-y2x1-x2=2]. 故直线[l]的方程为[y-1=2x-1], 即[2x-y-1=0]. 点拨 剔“杂”: 联立[y=2x-1x2-y22=1],得[2x2-4x][+3][=0],其[Δ=-8<0],所求的直线不存在. 六、利用变量的制约条件剔“杂” 例6 在平面直角坐标系[xOy]中,点[Pa,b][a>b>0]为动点,[F1],[F2]分别为椭圆[x2a2+y2b2=1]的左、右焦点,已知[ΔF1PF2]为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率[e]; (2)设直线[PF2]与椭圆相交于[A,B]两点,[M]是直线[PF2]上的点,满足[AM?BM=-2],求点[M]的轨迹方程. 解析 (1)容易求出椭圆的离心率为[e=12]. (2)因为[e=12],所以[a=2c],[b=3c]. 所以设椭圆方程为[3x2+4y2=12c2]. 又[kPF2=ba-c=3], 则直线[PF2]的方程为[y=3x-c]. 设[Ax1,y1],[Bx2,y2], 联立方程组[3x2+4y2=12c2,y=3x-c]得,[5x2-8cx=0]. 则有[x1+x2=85c,x1x2=0.] ① 进而有[y1+y2-235c,y1y2=-95c2,] ② 因为[AM?BM=-2], 所以[x-x1x-x2+y-y1y-y2=-2],
即[x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2]
[+2=0],③
将①②代入③得,
[x2-85cx+y2+235cy-95c2+2=0],④
消去参数[c],将[c=x-33y]代入④并整理得,
[18x2-163xy-15=0].
点拨 剔“杂”:考虑题目中的隐含条件,将[y=18x2-15163x]代入[c=x-33y],有[c=10x2+516x>0],所以[x>0].因此点[M]的轨迹方程为[18x2-163xy-15=0][x>0].
七、根据直线的斜率存在与否补“漏”
例7 已知点[P0,5]及圆[C]:[x2+y2+4x-12y][+24=0].若直线[l]过点[P]且被圆[C]截得的线段长为[43],求[l]的方程.
解析 设直线[l]的方程为[y-5=kx],
即[kx-y+5=0],
将圆方程[x2+y2+4x-12y+24=0]整理为
[x+22+y-62=16].
已知直线[l]被圆[C]截得的线段长为[43],圆的半径为4,
由垂径定理知,圆心到直线的距离为2.
即[-2k-6+5k2+-12=2],解得[k=34].
故[l]的方程为[3x-4y+20=0].
点拨 补“漏”:当直线[l]的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为[x=0],故直线[l]的方程为[3x-4y+20=0]或[x=0].
八、根据直线在坐标轴上的截距的定义补“漏”
例8 求经过点[P3,2]且在两坐标轴上的截距相等的直线[l]的方程.
解析 设直线[l]的方程为[xa+ya=1],
将点[P3,2]的坐标代入有,[3a+2a=1],
解得[a=5],
故直线[l]的方程为[x+y-5=0].
点拨 补“漏”:直线通过原点时,在两坐标轴上的截距为零,所以[2x-3y=0]亦满足题意,故所求的直线方程为[2x-3y=0]或[x+y-5=0].
九、根据两圆相切的定义补“漏”
例9 求与[y]轴相切于右侧,并与圆[C]:[x2+y2-6x=0]也相切的圆的圆心的轨迹方程.
解析 圆[C]方程化为[x-32+y2=9],
设动圆圆心为[Px,yx>0],圆[P]与[y]轴相切于点[M],与圆[C]相切于点[N],
所以[CP=PM+3],即[x-32+y2=x+3],
化简得方程[y2=12xx>0].
点拨 补“漏”:上述解答是两圆外切时的情形,还要考虑两圆内切时的情形.两圆内切时,点[M],[N]均与原点重合,动圆圆心在[x]轴的正半轴上且不与[C]点重合,满足条件的还有[y=0][x>0且x≠3].故所求的轨迹方程为[y2=12xx>0]或[y=0][x>0且x≠3].
十、根据过点的切线的定义补“漏”
例10 求过曲线[y=x3-2x]上的点[P(1,-1)]的切线方程.
解析 由[y=3x2-2],有[k=yx=1=1],故切线方程为[y+1=x-1],即[x-y-2=0].
点拨 补“漏”:要分辨“过点[P]的切线”和“在点[P]处的切线”的区别,在点[P]处的切线,一定以点[P]为切点,而过点[P]的切线,不一定以点[P]为切点,点[P]也不一定在已知曲线上.其正确解答为:设[Ax0,x30-2x0]为切点,切线的斜率[k=yx=x0=3x20-2],所以切线方程为[y-][x30-2x0]=[3x20-2(x-x0)],由点[P(1,-1)]在切线上,将其代入方程整理有[x0-122x0+1=0],解得[x0=1]或[x0=-12],故所求的切线方程为[x-y-2=0]或[5x+4y-1=0].