一道课本探究题的推广与应用

☉江苏省镇江中学 蒋景景

苏教版必修4第23页拓展·探究22题：“若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较α，sinα，tanα之间的大小关系.”该题结构美观、证法巧妙、内涵丰富、应用广泛.现撷取其中的一部分，供大家参考.

一、推广

1.结论

Ⅰ.当k∈［1，+∞）时，sinx≤kx；

2.图示

上述结论可以从图1中得到直观的解释.

3.证明

图1

当k≥0时，令h（x）=kx-sinx，则h′（x）=k-cosx.

综上可知结论成立.

二、应用

例1（2008年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（理科）第22题）

（1）求f（x）的单调区间；

（2）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围.

解：（1）从略.

故a≤0不成立.

令g（x）=ax-f（x），则

又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0.

即（fx）≤ax.

（2）本题的基点之一即是对sinx≥kx的条件探求，如果对结论Ⅱ、Ⅲ有一定的了解，则无形中提高了学生的思维起点.

例2（2012年南通市、泰州市、扬州市高三第一次调研考试第19题）

已知函数f（x）=x+sinx.

（1）设P，Q是函数f（x）图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；

解：（1）从略.

（2）①当a≤0时，f（x）=x+sinx≥0≥axcosx恒成立.

②当a＞0时，令g（x）=f（x）-axcosx=x+sinx-axcosx，

g′（x）=1+cosx-a（cosx-xsinx）=1+（1-a）cosx+axsinx.

（ⅰ）当1-a≥-1，即0＜a≤2时，g′（x）=1+（1-a）cosx+axsinx＞0，

g（x）≥g（0）=0+sin 0-a×0×cos0=0，符合题意.

（ⅱ）当a＞2时，由结论Ⅰ知当x∈时，sinx≤x，

故g（x）=x+sinx-axcosx≤2x-axcosx=x（2-acosx），

存在x0∈，使得2-acosx＜0，即存在x0∈，使得x+sinx≤axcosx.

综上所述，实数a的取值范围为a≤2.

例3（2012年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（理科）第20题）

设函数f（x）=ax+cosx，x∈［0，π］.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

解：（1）从略.

（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，即aπ-1≤1，

所以f（x）≤1+sinx.

评注：（1）由特殊到一般，采用“逐步逼近”的方式大致定出a的取值范围；