学而时习之，方能时有所悟——对初中数学复习课的一些实践和思考

☉江苏省张家港市港口学校 仇丽雅

学而不习就像学而不思一样，往往会前功尽弃，得而复失.学与习是有机结合在一起的两个环节.学重在于积累，习旨在于巩固，只有积累才能不断地丰富，也只有巩固才能得到提高.

一、反思：传统复习课的误区

常常听到教师发出这样的感叹：复习课最难上.因为复习课既不像新授课那样有“新鲜感”，也不像练习课那样有“成功感”.复习课不仅没有明确的教学内容规定，而且不易引起学生的兴趣.所以在平时教学中，很多教师感到难以驾驭，以致出现一些偏差.

1.复习无系统性

只是单纯地列举知识点，强调了知识点的再现，却忽视了理清知识之间的联系，知识迁移不够，很少举一反三，不能达到温故而知新.

2.复习无针对性

有的教师把复习课上成了练习课，练习层层递进，知识密度不断加大，难度不断增加，一堂课下来，老师辛苦，学生痛苦.

3.复习无自主性

给学生自主探索的空间不多，不是沿着学生的思维去分析，而是牵着学生的鼻子走.不考虑学生的个体差异，采用统一的方法和内容，解题策略单一，阻碍了学生的思维发展.

复习不是炒冷饭，不是把平时学习过的内容重复一遍.现代教育思想认为复习重在一个“理”字，使所学知识“纵成线”，“横成林”，达到融会贯通.

二、实践：新课程背景下的复习课

新课程标准指出：数学复习课应把“发展为本”作为教学的中心，通过查漏补缺，巩固深化基础知识，使各层次的学生在各个方面都有所提高.笔者在教学实践中通过不断探索、反思，认为数学复习课的主要目的是培养学生的思维能力、激发创新意识.下面以《二次函数》和《分式》两堂复习课为例，谈谈如何有效进行初中数学章节知识的复习.

1.巧妙设计问题

“数学是思维的体操”，而问题是思维的起点，也是思维的动力.数学复习课对问题的设计必须注意：（1）整体性，一堂课自始至终，学生的思维应当是整体的；（2）层次性，认知结构得以拓展和延伸，学生的思维应当是连贯的；（3）探究性，给学生更多的思维活动空间，更多的探究发现、合作交流和体验成功的机会，这是促进学生智慧生长的必然要求.

为此，可以借助问题串来引领学生的思维活动，以一题多问的复习手段，使学生的狭窄思维向广阔思维升华.这已经成为数学复习课的一种新型模式.

案例1：《二次函数复习》片段“复习巩固”

1.若函数y=（m－1）x2－2x+3m－2为二次函数，则m的值是什么？

2.若上题中的m为2时，则下列说法正确的是（ ）.

A.函数图像开口向下

B.函数图像的对称轴是直线x=－1

C.当x＞1时，y随x的增大而减小

D.当x=1时，y有最小值为3

3.将抛物线y=x2－2x+4向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是什么？

4.函数y=x2－2x+4的图像至少向下平移几个单位，它的图像与x轴有交点？

设计这样四个问题，环环相扣，把复习的内容问题化，问题的设计系列化.从同一个二次函数引出要复习巩固的所有主要知识点：定义，图像与性质，平移，与一元二次方程的关系.没有啰嗦的话语，没有繁杂的计算，在最短的时间内复习了最有用的知识点，使每个学生都有所收获，也为后面的拓展延伸打下了基础.

我们鼓励学生在复习中发现问题、提出问题，然后从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法.

2.精心编选练习

从练习中提炼出知识点，发挥习题的多种功能，是数学复习课中采用较多的一种形式.练习的编选必须注重前后知识的衔接、串联；容量要有度，重视学生的认知基础；体现数学思想，把数学知识内化为能力.比如精心选择“牵一发而动全身”的题目进行讲解，开阔学生思路，使学生通过复习有新的收获、新的体会.

案例2：《二次函数复习》片段“例题评析”

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1所示.

（1）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为______；

（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为______；

（3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的解为______；

（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有解，则k的取值范围是______；

图1

（5）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x+3的解为______；

（6）不等式ax2+bx+c＜x+3的解集为______；

（7）若ax2+bx+c=k的两个解为x1、x2，且=2，则k=______.

最后第（7）问有一定难度，既可以利用根与系数的关系来计算求解，也可以借助图形来分析.关键是理解的几何意义是要求出一条直线，使它与抛物线y=ax2+bx+c的两个交点之间的距离是2，启发学生从y=0到y=k之间去寻找（利用无限逼近的思想）.设计这个小练习，不仅巩固了数形结合的思想方法（数，通过形来直观；形，通过数来入微），而且很好地锻炼了学生的创新思维.

当然，针对不同的课题，还可以设计一些变式、对比练习，区分异同点突出本质属性；也可以设计一些综合练习，提高运用知识的能力；还可以设计一些发散练习，培养求异思维.

我们鼓励学生通过互动练习和自主探究，整理归纳出平时练习中常见的错误，以及为防止同类错误需要注意的事项，使枯燥的习题训练变为有趣的练习活动，从而提高复习的有效性.

3.关注总结提升

复习课，不再是知识的回忆和再现的过程，而是引导学生自主整理，把平时所学的局部的、分散的、零碎的知识纵横联系，使之系统化、结构化，使学生进一步明确教材中各部分内容的地位与作用，揭示各部分内容之间的内在联系.

案例3：《分式复习》片段“课堂总结”

类比思想：

虽然是一个章节的复习，但是没有局限于本章知识点的整理，而是前后、纵横比较，使学生认识到代数式的研究方法其实是相通的，乃至整个初中阶段的数学知识都是相互联系、相互渗透，螺旋式上升的.这样的总结开阔了学生的视野，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考.

学之道在于悟，通过复习，打开学生的智慧.当然，不一定非要在课堂结束时才感悟收获，在课堂中也要抓住契机，及时总结、反思.

案例4：《二次函数复习》片段“综合应用”

已知抛物线y=x2－3x－4与直线y=x+1交于A、B两点，并且与y轴交于点C.

（1）求S△ABC；

图2

（2）点P为直线AB下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PB，求S△ABP的最大值.

在分析、解决这道综合应用题时，不能仅仅关注学生“如何去解出来”，更要引导学生“为什么这样解”，引导学生总结：（1）求图形面积常用的方法：割补法；（2）具体分割时，采用最优化原则：利用题目中现有的条件；（3）求有关面积的最值，一般要应用函数的思想；（4）有动点就有变量，关键寻找题目中的数量关系，得出某些规律，从而找到解题的突破口.

我们鼓励学生敢于发表自己的想法、勇于质疑，让学生感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，从而增强学好数学的信心.

成功的复习课，是由厚到薄，再由薄到厚的一个过程，学生通过复习，不断从具体的知识与技能中获得规律性，再将规律性应用到具体内容的复习上.这样才能达到举一反三，融会贯通的效果.

三、收获：复习课的重要意义

在学习的人生里程中，可谓山重水复，学而不习常常会使人迷途失路，学而时习之则会柳暗花明.

通过实践，笔者深切感受到复习课与新授课同等重要，它是学习发展中一个不可缺少的重要环节.把复习课上好了，对学生能力的提高，习惯的培养，甚至是教师自身的发展，都是具有深远影响的.

1.温故而知新

新课程标准倡导让不同的人在数学上得到不同的发展.通过系统性的整理知识点，有层次的巩固练习，在稳固的基础上，学生通过独立思考或协作讨论，寻找到解决问题的多种策略和方法，每次都会有新的发现，新的提高.

2.养成科学态度

数学课程目标指出：对学生在通过学习数学而达到的自身发展的其中一个要求是养成科学态度.复习课，重在培养学生“认真对待学习、乐于思考交流、勇于坚持真理和纠正错误、愿意反思和质疑，以及会合理安排学习时间等”良好习惯.当学生养成这些良好的学习习惯后，不但会对他们今后的学习有益，而且对学生的终身成长都将有益.

3.促进师生共成长

不容置疑，复习能使学生的数学修养得到提升，同时，教师为了熟练掌握复习课的节奏，更有效地组织教学，带领学生在复习中感受智慧、体验智慧，领略数学的美，就会迫使自己静下心来认真研究教材、研究学情.这样坚持不懈地钻研，一定会给教师的专业成长带来帮助.因为教学互长，思考出灵感，实践出经验，一个能把复习课上得精彩的教师，一定是个好学上进的教师.

复习，学习过程中的画龙点睛之笔！学而时习之，方能时有所悟.