好问题源于“三个理解”

☉北京市楼梓庄中学 张 东

在数学课堂教学中，教师怎样才能提出好问题？站在不同的角度，可能会有不同的回答.笔者认为，教师提出好问题的前提是“理解数学、理解学生、理解教学”.本文通过同课异构说课活动中的一则案例来谈谈自己对这个问题的思考.

一、情景再现

比赛中，两位青年老师教学的内容都是人教版教材七年级上册4.3.3《余角和补角》，但在余角概念的引入环节，两位老师提出了不同的问题.

教师A：如图1，我们可以用∠DEF与∠ABC的大小来描述比萨斜塔的竖直方向和水平方向，请你猜想∠ABC与∠DEF之间有怎样的数量关系.如何验证你的猜想呢？

教师B：数学中，经常通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，比如在学习有理数时，特别研究了和为0与积为1两种特殊的数量关系，它们分别对应着互为相反数和互为倒数这两种特殊的有理数之间的关系.在上节课，我们学习了角的比较和运算，知道了角之间也具有数量关系，类比上述研究思路，由此你能提出一个关于角的需要进一步研究的问题吗？

图1

二、案例分析

这两种问题到底设计得好不好呢？让我们先从理解数学、理解学生、理解教学三个方面对《余角和补角》进行简单的分析.

1.理解数学.《余角和补角》是在学生学习了角的概念、角的大小的比较与表示、角的运算，并认识到角之间也具有数量关系之后，对两个角之间的两种特殊的数量关系的进一步认识.从两个角的一般数量关系到互余、互补这两种特殊的数量关系，体现了从一般到特殊的研究数学的基本套路.其次，互余、互补也是几何中角之间最基本、最常见的数量关系，是几何以及三角函数中角之间相互转化的重要关系.两个角之间的关系除了数量关系之外，还有位置关系（比如对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角等），但余角和补角本质上反映的是角之间的一种数量关系，与位置无关.

2.理解学生.学生在小学学习过角的分类，知道直角和平角是角家族中的特殊成员；由于上节课学生刚学完两角和、差的概念及和、差的运算，所以学生学习互余、互补的最近发展区就是两角和的概念及运算.其次，学生在理解余角和补角的概念时，常常会把位置关系也考虑其中，因而在判断两个角是否互余或互补时出现错误.此外，通过几何直观，可把复杂的数学问题变得简明、形象，利于帮助学生探索解决问题的思路，预测结果.

3.理解教学.《数学课程标准（2011版）》在课程内容中对余角概念的具体要求是“理解余角的概念”.所谓“理解”，是指“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”.因此，教学中要让学生体验互余概念的产生过程，认识到两个角互余只和这两个角的大小有关，而与其所在的位置无关的本质特征.此外，在《数学课程标准（2011版）》的课程总目标中提到，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”“体会数学的基本思想和思维方式，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题”.在教学中，让学生体会从一般到特殊的研究数学的基本套路，既是对数学基本思想的渗透，也是对学生发现问题、提出问题能力的培养.

通过以上三个方面的分析，我们得出两位老师的提问其实各有特色：教师A的提问从实际情境出发，借助比萨斜塔抽象出两个相加等于90°的角的数学模型，让学生体会数学与生活实际的密切联系；让学生先猜想再验证，有助于发展学生的合情推理能力，同时几何图形的直观化，让学生也比较容易猜想到结论；同时在验证两角和为90°时，学生会联系到上节课所学习的两角和的概念，通过度量和拼接的操作进行验证，体会数学知识之间的内在联系.

教师B的提问“数学立意”很高，而且很开放，是从数学知识的内在联系出发提出问题：教师先通过“先行组织者”向学生渗透从一般到特殊、考察特例的认识数学对象的方法，然后以有理数中互为相反数和互为倒数为例，让学生进行类比，启发学生自己发现问题、提出问题，并通过类比让学生体会如何发现问题、提出问题，当然两位老师所提的问题也都还有需要进一步探讨之处.比如教师A的问题中，两个锐角的位置还是比较特殊（有一条边平行）的，用这样的两个角代表互余的角会给学生造成边不在同一直线上的角就不是互余的角的错觉.此外，仅从一个例子中，学生很难归纳出一类问题的本质属性，还应再举一些例子.教师B的问题，虽然立意很高，也举了一个例子供学生类比，但学生不一定能理解问题的意图，不妨再设计一个问题预案，来对学生进行启发和引导.

因此对于余角概念的引入，可以将两位老师的问题进行综合形成问题串，不妨做如下的设计.

问题1：数学中，经常通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，比如在学习有理数时，特别研究了和为0与积为1两种特殊的数量关系，它们分别对应着互为相反数和互为倒数这两种特殊的有理数之间的关系.在上节课中，我们学习了角的比较和运算，知道了角之间也具有数量关系，类比上述研究思路，由此你能提出一个关于角的需要进一步研究的问题吗？

问题2：如图1，我们可以用∠DEF与∠ABC的大小来描述比萨斜塔的竖直方向和水平方向，如图2，∠1=∠ABC，∠2=∠DEF，那么∠1与∠2之间会有怎样的数量关系呢？如何验证你的猜想？你还能举出一些具有这样数量关系的两个角吗？

图2

三、深度思考

掩卷反思，为什么有的老师的提问能突出数学问题的本质和要害，而有的老师的提问却如隔靴搔痒呢？为什么有的老师的提问能让学生在问题的启迪下探究数学的真谛，而有的老师的提问却让学生感觉一头雾水，不知如何思考呢？通过以上的案例，不难发现教师能否提出好的数学问题，关键在于教师对数学、学生、教学的理解水平.

1.理解数学.这决定问题所能达到的深度.理解数学，是指清楚数学知识的产生背景、形成过程、形成方法，清楚数学知识的本质、体系及与相关知识的关系，它的关键是把握内容设计的核心概念及其蕴含的思想方法.比如，围绕数学概念提问时，要考虑概念的来源是什么，概念的内涵是什么，与相关概念的相互关系是什么，概念有什么作用，在新的概念引入后，原来的知识可以做出什么新的解释等.在本案例中，如果教师对余角概念中数量关系而非位置关系这一本质特征把握不准，对余角产生过程所蕴含的一般到特殊的研究数学的基本思想没有深入挖掘的话，那么在教学设计时所提出的数学问题就不会有什么数学深度，学生的思维与能力也不会得到相应的发展.

2.理解学生.这决定问题所能达到的效果.数学教学服务的对象是学生，教师“理解数学”的最终目的是让学生也“理解数学”.理解学生，是指清楚学生学习的基础、潜能、需求、差异，准确把握学生学习的最近发展区（包括学习本部分知识时已有知识的知识萌芽点、生长点与认知难点、易混易错点，清楚学生的认知规律）.在本案例中，教师在设计提问时，以“角的数量关系”为余角概念的生长点，考虑到位置关系对学生理解的干扰，注意问题中角的位置的一般性，此外七年级学生刚接触几何，还需要借助几何直观，辅助对概念的理解.

3.理解教学.这决定问题所体现的教育价值.理解教学，就是要清楚数学教育的目的是什么，每节课的数学课程教学要达到的教学目标是什么，到底要培养学生的哪些能力与水平.只有教师正确理解了数学的育人目标，才能提出有教育价值的好问题.在本案例中，教师B正是认识到《数学课程标准（2011年版）》中提到的“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题”的目标要求，才设计出来引导学生“……类比上述研究思路，由此你能提出一个关于角的需要进一步研究的问题吗？”这样有很高立意的好问题.

总之，好问题是数学、学生、教学有机统一、相互协调、综合设计的结果，相信这样的问题设计，一定会赢得学生、专家的集体“转身”！