例谈初中数学课堂“慢、降、放、退”教学策略——7.4《认识三角形（1）》课堂教学实录与评析

☉江苏省连云港市孙朝仁中学数学名师工作室 孙朝仁（特级教师） 朱桂凤

“慢”是一种策略，也是一种教学基调，贯穿课的始终，在新旧知识接轨处有所侧重，实现知识有效对接.“降”是一种策略，也是一种教学手段，在学习概念、符号、法则、公式、性质、规律性结论时适时、适度的“降”，能改善知识的抽象性.“放”是一种策略，也是一种教学情怀，学生能学会的放手让学生自学；学生自学有困难，但经历合作交流能解决的也下放给学生探究；教也学不会的放手不学，让学生获得体验和感悟的机会.“退”是一种策略，也是一种教学视野，在教学难点处大幅度的“退”，在问题诊断处适度的“退”，在综合问题处灵活的“退”，为学生搭建台阶，让学生拾级而上，实现知识的常态生长.

本文以义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版七年级下册）第七章《认识三角形（1）》为例，说明“慢、降、放、退”的教学策略的实施过程，供“学业水平偏弱”学校的一线数学教师参考.

一、教学分析

1.内容分析

本课时的内容是在学生已经认识点、线这样简单图形的性质的基础上进行学习的，是学生进入中学阶段最早认识的一个相对“完整”的图形.小学时学生已了解了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的概念，本节课则重在让学生探索三角形的基本要素——三角形三边之间的相互制约关系，即三角形的任意两边之和大于第三边，同时渗透分类的数学思想.

2.目标分析

（1）虽然学生对三角形已有粗浅认识，但用符号表示三角形是学习三角形性质的前提，所以进一步认识三角形的概念及其基本要素并能用符号表示，仍是学习的目标之一.

（2）观察、实验、操作、猜想、归纳、验证、说理是发展空间观念和培养有条理表达能力的重要手段，也是获取几何结论的重要方法，能进一步加深对三角形三边之间关系的理解.

（3）数学课程标准倡导学生的学习是一个生动活泼、主动和富有个性的过程，认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式.同学间的合作与交流能让学生获得成功的感受，树立学好数学的信心.

3.学情分析

从七年级上册《平面图形的认识》到七年级下册《认识三角形》，中间隔了些时日，学生对于点、线、角的表示以及线段的性质有所遗忘，在不度量的情况下探究三角形三边之间的关系有些困难.因此，确定教学难点为三角形三边之间的关系的探究.“学业水平偏弱”学校的生源相对较差，要么是六年级时班级成绩相对滞后的学生，要么是留守儿童，要么是单亲家庭的子女.一部分学生不仅“四基”薄弱，而且学习习惯较差，缺乏自尊、自爱，对学习数学无兴趣、无信心，有一种破罐子破摔的感觉！在此背景下，若追随“快餐式”课堂，不顾具体学情，必然无法达成理想的教学效果.若采用“慢、降、放、退”的教学策略，让学生能跟得上、听得懂、学得会，必将收到理想的教学效果.

二、教学过程及实录评析

1.创设情境，在慢、降中勾起学生已有的三角形印象

（课伊始，动画演示“帆船”“自行车三脚架”“金字塔”等含有三角形的图案）

师：这些图案中有你熟悉的图形吗？

生众：都含有三角形.

师：说一说，日常生活中有哪些常见的三角形实例.

生1：红领巾.

生2：三明治.

生3：卫生流动红旗

生4：三角板.

……

（师评价：你们观察真仔细，视野挺开阔的）

师：你认为什么是三角形？能画出草图并表示吗？

生5：由3条直线组成.

（师评价：说得有道理）

生众（迫不及待）：由3条线段组成.

生6：错，由3条不在同一直线上的线段组成.

（师评价：说得好）

师：还有要补充的吗？

生7（借助课本）：三角形是由3条不在同一直线上的线段，首尾顺次相接组成的图形.

（师评价：既聪明又灵活）

师：你能画图说明生6的说法是不正确的吗？

（生7画出了首尾顺次但没能完全相接的图形，下面的学生洋溢着赞赏的表情）

生8：在黑板上画出没有名字的三角形草图.

（其余同学在下面完成）

师：你能用符号表示黑板上的三角形吗？

生6：用小写的字母a、b、c表示三角形的顶点，记作“△abc”.

（师评价：想法挺好的）

生9：不对，三角形的顶点必须用3个大写的字母表示，如点A、B、C，记作“△ABC”.

（师评价：回答很棒）

师：你是怎么知道的？

生9：我通过看书知道的.

师：你认为三角形有哪些要素组成？

生众：3条边、3个内角和3个顶点.

师：你能写出黑板上的△ABC的边、角和顶点吗？试试看！

（生10写出3条边为：AB、BC、AC；3个内角为：∠A、∠B、∠C；3个顶点是A、B、C）

师：还有要说的吗？

（生11补充3个内角还可以表示为：∠ABC、∠BCA、∠CAB）

师：有要补充的吗？

生12：3条边还可以表示为：a、b、c.

（师评价：说得真好）

师：你能在黑板上的△ABC中标示a、b、c吗？

（生12把a标示在AB边上；把b标示在BC边上；把c标示在AC边上）

生9（借助课本）：一般情况下，∠A的对边BC可以用a表示；∠B的对边AC可以用b表示；∠C的对边AB可以用c表示.

（师评价：说得有理）

师（展示手中的三角板）：你能指出这块三角板的边、角和顶点吗？

（生13在讲台前流畅地指出三角板的边、角和顶点）

师：你能画出三角板的草图，并重新起个名字，且写出它的边、角和顶点吗？

（生14在展板上画出草图，记作△DEF，3条边是：DE、EF、DF；3个内角是：∠D、∠E、∠F；3个顶点为：点D、E、F）

生众：3个内角还可表示为∠DEF、∠EFD、∠FDE.

评析：执教者首先让学生体验从现实世界中抽象出三角形这一模型的过程，进而体会用符号表示三角形的必要性.而这一直觉思维的过程，必须针对待学内容、学生的认知规律以及已有的知识经验，挑选适当、匹配的问题，让学生在“慢”中体悟知识的由来，在“降”中拾级而上，唤醒已经褪色的三角形印象.再经历生生交流、师生会话、学生与文本的对话，感受三角形的个性化表征，从而生成踏踏实实的三角形形象.“慢”为学生内化、接纳提供充足的时空，能让学生跟上、听懂、学会，“慢”不是为慢而慢，而是为了高质量的生成，为了不再重复.“降”能让学生现有的思维层次够得着教师的思维，“降”为后续的提高做必不可少的铺陈，“降”不是一味的降低要求，而是为实现现有思维的突破，暂时降低要求，经历知识经验的层层铺陈，达成生长新知的目标.这里的“降”体现在三个方面：让学生从观察身边的实物出发来建构三角形，借助每天相随的三角板直观感知，降低了旧知识回忆的难度；让学生运用“对话”和经历思维的多次摩擦生成三角形的描述性概念，降低了学生的心理预期准备；用可操作的画图和标示以及表示的方式让学生在重复操作和识别中获取三角形及各要素的表示方法，让原本抽象的符号可感可摸，降低了思维的起点.

2.操作思考，在降、放中揭示三角形的本质

师：能在网格纸上任意画一个你喜欢的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形吗？

（所有的学生都在教师事先准备的网格纸上画出符合要求的三角形，并且主动表示和标示，形态各异，精彩纷呈）

师：你是怎么知道所画的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形的？

生众：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形.

（师评价：大家说得好，我明白了）

师：你能把图1中三角形的序号填入图2有关的椭圆框内吗？试试看！

生众：把序号③、④、⑤填入锐角三角形椭圆框内；把序号①、⑥填入直角三角形椭圆框内；把序号②填入钝角三角形椭圆框内.

图1

图2

师：你怎么知道答案的？

生众：观察得到的，度量得到的.

师：你认为按角可将三角形分为哪几类？

生15：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

师：你认为等腰三角形具有什么特征？能画出草图并表示吗？

生16：三条边中有两条边相等的三角形是等腰三角形.

（生16在展板上画出草图，并记作△ABC，且标示出AB=AC）

师：你能找出图1中的等腰三角形吗？

生17：④、⑤是等腰三角形.

生18（急切地纠正）：⑤是等边三角形，不是等腰三角形.

生19：不对，⑤是等腰三角形，因为等边三角形是特殊的等腰三角形.

（师评价：思维深刻）

师：你能表示出图3中的所有三角形，并按角分类吗？

图3

（生20和生21在黑板上给出正确答案，锐角三角形有：△ACE；直角三角形有：△ABD、△AED、△ADC；钝角三角形有：△ABE、△BAC）

师：挑选一个你喜欢的三角形加以检验，验证你猜想的合理性.

（生18和生15在黑板上用量角器合作检验，其他学生有的独立检验，有的合作检验.）

师：请挑选5根长分别为3cm、4cm、5cm、6cm、9cm的木棒，任意取出3根首尾相接搭三角形，并填写下表：

（操作要求：4人一组，在统一准备的粘板上合作实验，并按要求完成表格；第5小组在讲台上展示实验过程.经历合作交流、补充与再补充，最终给出正确答案：3cm、4cm、5cm；3cm、4cm、6cm；3cm、5cm、6cm；4cm、5cm、6cm；4cm、6cm、9cm；5cm、6cm、9cm，一共可以拼接6个三角形）

师：从上面的实验操作中你发现了什么？

生22：边长为3cm、4cm、5cm的三角形中，3cm+4cm＞5cm；3cm+5cm＞4cm；4cm+5cm＞3cm.

（师评价：说得全面）

师：你能用语言把生22的想法表达出来吗？

生23：两边的和大于第三边.

（师评价：说得好）

生24（借助课本抢答）：三角形的任意两边之和大于第三边.

（师评价：你的回答既全面又灵活）

师：你能说明三角形的任意两边之和大于第三边的理由吗？

生24（借助课本，依据小丽的提示）：两点之间线段最短.

师：还有要说的吗？

（下面一片沉默）

师（再次追问）：为什么3cm、4cm、9cm不能搭成三角形？

生24：因为3cm+4cm＜9cm.

（师评价：你的答案正确）

生25（迅速抢答）：我明白了，只要较短两边的和大于最长边，就可以搭成三角形.

（全班学生鼓掌认同）

（师借助三角板，引领学生解释“较短两边的和大于最长边能搭成三角形”的合理性）

评析：鉴于已经真正唤醒三角形的记忆且顺利给出三角形的表示方法以及关联的要素，此时执教者通过低难度问题的铺陈，达到降低心理思考起点的目标，进而实现“降”后的逐步提升；又用“放”的手段，让学生在力所能及的思维层面上实现知识的逐级生成，最终实现对三角形本质的揭示.这一过程不是教师的 “派送”和“说教”能够实现的，也不是教师的体验能代替的，更不是学优生的理解能取代的，只能来自于每一个生命个体的躬耕劳作.在教学过程中，借助“放”的手段揭示三角形分类的本质.执教者让学生充分的画图、自由的挑选与阐释，以及用“做”的方式解释按角分类的合理性，进而渗透内中隐含的知识（三角形分类思想），同时联袂生成了等腰三角形；然后，执教者侧重于“放”的教学策略，借助数学实验，在操作与再操作中，观察与再观察中，交流与再交流中，实现三角形本质的缓慢生长，即生成“三角形任意两边的和大于第三边”这一三角形三边关系制约的本质.

3.迁移应用，在放、退中升华对三角形的再认识

师：有2cm、3cm、4cm、5cm这四根彩色线形木条，要摆出一个三角形，你有哪些摆法？

生25：有三种摆法，即2cm、3cm、4cm；2cm、4cm、5cm；3cm、4cm、5cm.

师：你是怎样判断的？

生众：2cm+3cm＞4cm；2cm+4cm＞5cm；3cm+4cm＞5cm.

（用最简单方法解决较烦琐的问题是思维灵活的表现）

师：一个等腰三角形的两边分别为2.5和5，你能知道他的周长吗？

生26：周长是10或12.5.

（师评价：说得有道理）

生27（抢答）：周长不可以是10，周长只能是12.5.

师：周长为什么不可以是10？

生27：因为2.5+2.5=5，即两边之和等于第三边.

（师评价：理解深刻）

问题：若三角形的两边长分别为7cm和10cm，则第三边的长的取值范围是多少？如果第三边的取值是正整数，那么所取的边长有没有可能围成一个等腰三角形？此时该三角形的腰长应为多少？

师：你能画出一个边长为7cm、10cm和acm的三角形的示意图吗？

（生27按要求画出了三角形示意图并标示数据）

师：要构成三角形，你认为a必须满足的条件是什么？

生27：a要小于7+10.

（师评价：你的表现很棒）

师：能说说你是怎么思考的？

生27：三角形任意两边的和大于第三边.

师：还有要说的吗？

生27：a+7还要大于10，即a要大于3.

师：你能用规范的语言表述吗？

生27：a要大于两边之差，又要小于两边之和.

（师评价：表达真好）

师：经过生27的解释，你们搞清楚a的范围吗？

生众：a大于3且小于17.

师：在3＜a＜17的范围内，a可取到哪些整数？

生众：a可取整数4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16.

师：a取哪些整数时，与7、10可以搭成等腰三角形？

生众：a取7或10时，可以构成等腰三角形.

师：你能画出草图，并标示数据，且指出腰长吗？

（生27和生28按要求给出正确答案，指出腰长为7cm或者10cm.）

师：此时，这两个等腰三角形的周长分别是多少？

生众（异口同声）：三角形的周长是24cm和27cm.

问题：由12个边长为1的小正方形拼成1个长方形，点A、B、C、D、E分别在小正方形的顶点上（如图4），过其中的任意三点画三角形，一共可以画多少个三角形？其中哪些是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形？哪些是等腰三角形？

图4

（所有的学生都积极画图，有的自主，有的合作，还有的边聊边画.大约3分钟时间后，生22举起小手，急切地说可以画6个三角形，经历学生的后续补充，最终得到可以画9个三角形的正确结论.期间，生19在黑板上画出完整正确的草图；生20和生21在黑板上合作表示出△ABE、△BCE、△CDE、△ACE、△ADE、△BDE、△ABD、△ACD、△BCD）

师：你能将所画的三角形按角分类吗？比比看，谁找得准！

（生28和生29在黑板上合作完成，其余同学在下面完成，或合作，或独立；两人一组，也有三人一组，积极选择自己喜欢的方式作答.最终呈现的答案是：其中，△ABE、△BCE、△CDE为直角三角形，△ACE、△ADE、△BDE为锐角三角形，△ABD、△ACD、△BCD为钝角三角形）

师：选择一个你喜欢的三角形，检验你的猜想是否正确.

（生28和生30用量角器在黑板上合作检验△CDE，确认猜想的正确性，其余同学在下面用自己喜欢的方式检验自己喜欢的三角形）

师：这9个三角形中有等腰三角形吗？

生众：△ACE和△CDE是等腰三角形.

师：你们是怎么知道的？

（有的说是度量得到的，有的说是观察得到的，有的说是折叠得到的）

评析：华罗庚先生说：“学而不练，犹如入宝山而空返”.执教者采用“退”的策略固化新知.共设置四个爬坡性问题.第一个问题起诊断作用；第二个问题起缓冲作用；第三个问题实现新旧知识的整合与联袂.前两个问题的设置是让学生的思维退到知识生长点，达成通透理解第三个问题的目标.第四个问题中“画图”环节的呈现，目的是让学生的思维退到初始状态，在简单的“做”中感受三角形的分类思想，提升识别等腰三角形的能力，实现了新旧知识碰撞后的无缝对接.在教学过程中，“放”和“退”是淡烟流水似的风景，“放”让学生拥有了“做”数学的舞台，让学生拥有了交流的载体，让学生拥有了悟化和接纳的可能，让学生获得生命感悟的契机.“退”让学生退到思维的起点，能够用现有思维实现知识的生长，进而生成原本看似无法生长的知识；“退”稀释了学生心理预期的难度，提高学生生长知识的信心，为生长知识营建安全的心理；“退”使学生的思维世界海阔天空，个性化差异的展现、参差不齐的知识、或深或浅的生命感悟，知识生长由底层、中层到高层拾级而上，经历困顿、碰撞、矫正的过程，实现“三角形认识”知识链的自然生长.

笔者认为，数学课堂教学中的“慢”是指让课堂运行的速度慢下来，耐心地等待学生个体自己把要学的知识慢慢发现出来或慢慢再创造出来，以慢求快，步步留痕，生成快的效果；“降”是指依据学情偏弱（即学生“四基”薄弱）的数学现实，降低要求，降低认识，不高估学生的思维现实，使问题设置与学生的认知水平、知识经验相匹配，让学生能跟上、学会；“放”是指自然下放待解决的数学问题，放手让学生自己去解决，相信学生能行，也指适当的留白，延展学生思考的时空；“退”是针对偏大的问题，退到最简单、最初始的状态，即退到学生心理思考的起点，让学生的思维能够得着，经历一串小问题的铺陈，进而达成解决大问题的目标，只有善于“退”、足够地“退”，才有知识生成的瞬间潋滟与感动.

三、结语

波利亚指出“拿一个有意义而不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.其实，学生学习的过程就是以教师精心创设的问题为载体，亲历主动建构、自动生成的过程；也是一个不断完善、不断补充、不断更新的过程.任何一种不切实际的拔高都是无效的，必须针对具体学情将活动单下放给学生，落实学生的主体作用，让学生经历困惑、撞击、争执、顿悟的过程.也许学生的再发现和再归纳不是尽善尽美，但用望远的视野看，效果理应是相对理想的，因为这些知识、思想、方法、感悟是由学生自己觅得的，更能促进新知的合理化建构和理性思维的逐级生长.在学生活动的过程中，教师的适时、适度点拨尤为关键，机智的暗示、适时的提醒、欣赏的眼神等都能让学生由困顿走向豁然开朗；还要在学生已有的知识和待学新知之间架桥铺路，让学生“跳一跳，够到桃”，让学生在最近思维发展区内不断完善自己的认知结构，提升内层思维品质，进而实现新知水到渠成的生成.这里的“跳一跳，够到桃”的目标则需要采取“慢、降、放、退”的教学策略来加以实现.

1.刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2003.

2.孙朝仁.数学教学中深化参与式教学思想的实践与思考［J］.中国数学教育，2012（3）：5-7.

3.朱桂凤，孙朝仁.例说个性化课堂教学中的“六慢”［J］.中国数学教育，2012（4）：5-9.

4.朱桂凤.数学实验课教学中的“慢”“重”“轻”［J］.中学数学教学参考（中旬），2012（1-2）：138-140.