Delta算子切换系统的鲁棒滤波器研究

高金凤，向峥嵘，陈 桂

1.南京工程学院 自动化学院，南京 211167

2.南京理工大学 自动化学院，南京 210094

Delta算子切换系统的鲁棒滤波器研究

高金凤1，向峥嵘2，陈 桂1

1.南京工程学院 自动化学院，南京 211167

2.南京理工大学 自动化学院，南京 210094

1 引言

切换系统是一类十分重要的混杂动态系统，近年来，国内外学者在切换系统稳定性研究的基础上，对系统的不同方面如控制器设计、滤波器设计、观测器设计等方面的内容都进行了研究[1-4]，目前已形成了切换系统的一套理论体系。

Delta算子或变换作为一种新的离散化方法[5]在自动控制和信号处理领域的许多分支取得了许多研究成果[6]。但是这些研究成果只是探讨了一般系统的滤波与控制问题而没有考虑切换系统的情形。

Xiang and Wang[7]首次研究了一类不确定Delta算子切换系统的鲁棒H∞控制问题，并以线性矩阵不等式的形式给出了存在H∞控制器的充分条件，其主要是基于多李雅普诺夫函数来研究系统的稳定性。然而目前针对Delta算子切换系统的研究尚不全面和深入，研究Delta算子切换系统的鲁棒H∞滤波器相关问题的报道还没有，本文创新性地提出利用多Lyapunov函数和平均驻留时间方法给出了线性Delta算子滤波误差系统在满足平均驻留时间下的任意切换信号指数稳定性的充分条件。进一步以LMI的形式给出了切换系统存在滤波器的充分条件。最后给出鲁棒H∞滤波器的设计方法。仿真结果表明该方法可以获得满意的效果。

2 问题描述

考虑参数不确定线性Delta算子切换系统

其中x(k)∈Rn是n维状态向量，y(k)∈Rr是r维输出向量，w(k)∈Rp是属于l2[k0，∞)的噪声，z(k)∈Rq是被估计信号，为系统的切换信号。对于任意的是适当维数的不确定实值矩阵。Bi，Di， Li均为已知的常数矩阵。δ表示Delta算子，其定义为T为采样周期。本文假设切换系统的切换时刻发生在系统的采样时刻。不失一般性，对系统中的不确定项作以下假设。

假设1对于任意的i∈-N，实值矩阵 Aˆi，Cˆi具有以下的不确定结构形式：

其中 Afi，Bfi，Cfi均为适当维数的滤波器被估计常参数矩阵，xf(k)∈Rn是n维滤波器状态向量，y(k)∈Rr是滤波器输入向量，z(k)∈Rq是滤波器估计输出向量。滤波器采用与系统相同的采样率。对于系统（1）和其相应的滤波器（4），其滤波误差定义为：

为后面的证明做准备，首先给出以下定义：

定义1考虑系统（6）满足w(k)=0，如果存在切换律σ(k)，使得系统的状态轨迹满足：

其中α≥0，β＞0，k≥k0，则称系统（6）是指数稳定的，并具有指数衰减率β。

定义2对于任何给定的正常数γ，如果对于滤波误差系统（6），在切换律σ(k)下，具有以下性质：

（1）当w(k)≡0系统是渐近稳定或指数稳定的。

（2）在零初始条件x(k0)=0下：则称滤波误差动态系统（6）具有H∞性能γ。其相对应的具有这样性质的滤波器（4）称为是系统（1）的H∞滤波器。

定义3对于切换律σ(k)和任意的kν＞ks＞k0，令Nσ(k)(ks，kv)表示在 (ks，kv)之间切换信号 σ(k)的切换次数。如果对于任意的N0≥0，τa＞0成立，τa称为系统的平均驻留时间。

在以后的定理证明中，将使用到以下的引理。

引理1[8]（Schur补）对于给定的对称矩阵

其中S11，S22均是方阵，以下三个条件是等价的：

引理2[9]设U，V，W 和对称矩阵 X是适当维数的实值矩阵，则对于满足VTV≤I的所有矩阵V：

3 主要结果

3.1 线性Delta算子滤波误差系统稳定性分析

Delta算子滤波误差切换系统为：

下面的定理给出了系统（11）的指数稳定性条件。

定理1对于线性Delta算子滤波误差切换系统（10），α是给定的正标量满足0＜α＜，如果存在对称正定矩阵Pi对于任意的i∈使得下面的不等式成立：

根据指数稳定的定义知Delta算子滤波误差切换系统（10）是指数稳定的。定理1证毕。

3.2 Delta算子滤波误差系统鲁棒H∞性能分析

下面的定理给出了系统（10）具有H∞性能指数稳定性条件。

定理2对于线性Delta算子切换系统（10），α是给定的正标量满足0＜α＜，如果存在对称正定矩阵Pi对于任意的i∈使得下面的不等式成立：

证明 对于第i个子系统，选取Lyapunov函数为：

从不等式（18a）可以推出（11a），根据定理1，Delta算子滤波误差系统（10）是指数稳定的，下面证明滤波误差系统满足H∞性能。

在零初始条件下，将系统运行的时间域按系统的切换时刻进行分割成k0，k1，…，kn，考虑：则可得

根据定义知系统是指数稳定的，且满足H∞性能。

3.3 鲁棒H∞滤波器设计

在本节中，依据前面所给出的滤波误差动态系统具有H∞性能的稳定性条件，给出鲁棒H∞切换系统滤波器设计方法。

则存在形如式（4）的切换系统滤波器，保证滤波误差系统是指数稳定的，并满足H∞性能γ，对于任意的平均驻留时间满足：

证明 采用了文献[8]的变量替换方法，对矩阵Pi和它的逆做如下的分块：

则PiJi=，根据误差动态系统的系统矩阵：

同时，对于定理2中的条件即式（18b）：Pi≤μPj，∀i，j∈，其中μ＞1和式（20），（21），条件可等价化为：

其中：

根据文献[8]的讨论，若 Ri、Xi、Mi、Ni、Zi、εi、δi、μ＞1是线性不等式系统（19）的一个可行解，则从不等式（21）可知矩阵 I-P11iS11i是可逆的，故从方程（21）可得可逆矩阵P12i和S12i（例如采用奇异值分解的办法），利用变量替换公式（25）和（27）可得：

因此，滤波器的传递函数矩阵为：

定理3证毕。

说明1综上所述及定理3可得Delta算子切换系统鲁棒H∞滤波器的设计步骤：

步骤1根据给定的0＜α＜和γ解线性不等式（19a）～（19b），得到对称正定矩阵Ri、Xi和矩阵Mi、Zi、Ni及正标量εi、δi。

步骤2根据得出的Ri＞0，Xi＞0利用关系式（19e）采用奇异值分解的方法求出P12i，S12i，然后求出P22i。

步骤3根据求出的 Xi，P12i，P22i构造出式（19d），求出满足条件的正标量μ，同时求得平均驻留时间τa。

步骤4利用得出的Ri＞0，Xi＞0和矩阵Mi、Ni、Zi和关系式（19f）求得系统的滤波器各个参数Afi、Bfi、Cfi。

4 数值例子

考虑包含两个子系统的不确定线性Delta算子切换系统（1），具体参数如下：

根据Delta算子切换系统控制器的设计过程：

步骤1根据定理3解线性不等式（19a）～（19b）得到：

在此，此Delta算子切换系统的滤波器设计过程结束。

进行系统仿真时，选择在平均驻留时间为τa=8的周期切换律情况下，Delta算子切换系统的状态响应曲线如图1、图2所示，图3为切换系统的被估计信号与滤波估计信号，而滤波误差信号曲线如图4所示。可以看出，滤波器的估计信号能够有效对原系统信号进行估计，滤波误差最终收敛，从而表明H∞滤波器的设计方法是有效的。

图1 在τa=8的周期切换信号下滤波误差系统状态响应曲线

图2 在τa=8的周期切换信号下滤波误差系统状态响应曲线分图

图3 Delta切换系统的被估计信号与滤波估计信号

图4 Delta算子切换系统滤波误差信号曲线

5 结论

本文根据不确定线性Delta算子切换系统模型，给出相应的滤波器，得出对应的滤波误差系统，并采用多Lyapunov函数和平均驻留时间方法研究误差系统指数稳定性条件，从而采用变量代替方法得出滤波器参数，通过求解LMI，设计出相应的滤波器。最后，总结了线性Delta算子切换系统滤波器设计的一般步骤，并通过数值实例证明了所得定理的正确性。

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[6]李慧光，武波，李国友，等.Delta算子控制及其鲁棒控制理论基础[M].北京：国防工业出版社，2005.

[7]Xiang Z R，Wang R H.Robust H∞ control for a class of uncertain switched systems using delta operator[J].Transactions of the Institute of Measurement and Control，2010，32（3）：331-344.

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GAO Jinfeng1,XIANG Zhengrong2,CHEN Gui1

1.School of Automation,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China
2.School of Automation,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China

Robust H∞filter for a class of parameter uncertain switched systems using Delta operator has been discussed.Based on multiple Lyapunov function theory and average dwell time,a sufficient condition for the existence of stability of the parameter uncertain Delta operator switched system is presented in terms of LMI,and the H∞filter performance is analyzed.Furthermore, the sufficient existence conditions and designing method of robust H∞filter are proposed.The designed robust H∞filter not only guarantees the closed-loop system with uncertain parameter to be asymptotically stable,but also satisfies H∞performance that expected.A simulation example is given to illustrate the effectiveness and feasibility of the proposed method.

H∞filter;switched system;average dwell time;Delta operator

研究了一类参数不确定线性Delta算子切换系统的鲁棒H∞滤波器设计问题。提出利用多Lyapunov函数和平均驻留时间方法，以线性矩阵不等式的形式给出了参数不确定Delta算子滤波误差切换系统指数稳定性条件，并进行了H∞性能分析，从而进一步给出Delta算子切换系统鲁棒H∞滤波器存在的充分条件和设计方法。所设计的滤波器不但保证系统参数不确定时闭环系统指数稳定，而且满足所期望的H∞性能指标。仿真结果证明了设计方法的有效性和可行性。

H∞滤波器；切换系统；平均驻留时间；Delta算子

A

TP273

10.3778/j.issn.1002-8331.1203-0359

GAO Jinfeng,XIANG Zhengrong,CHEN Gui.Study on robust H∞filter design for uncertain switched systems using Delta operator.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：112-118.

国家自然科学基金（No.60974027）；江苏省高校自然科学研究项目（No.13KJB120003）；南京工程学院科研基金（No.QKJB2010007）。

高金凤（1973—），女，讲师，目前研究方向为非线性系统理论与应用、鲁棒控制、智能控制等；向峥嵘（1969—），男，教授，博士生导师；陈桂（1973—），女，副教授。E-mail：zdhxgjf@njit.edu.cn

2012-03-15

2012-05-23

1002-8331（2013）23-0112-07

CNKI出版日期：2012-08-08 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120808.1548.018.html

◎图形图像处理◎