共轭A-调和张量局部加权估计式

贺丹，金明浩

（黑龙江工程学院数学系，黑龙江哈尔滨150050）

共轭A-调和张量局部加权估计式

贺丹，金明浩

（黑龙江工程学院数学系，黑龙江哈尔滨150050）

本文将给出非齐次A-调和方程A(x,g+du)=h+d*v及共轭A-调和方程A(x,du)=d*v解的局部加权范数估计式.首先回顾了要用到的两个引理和A,(λ,Ω)-权函数的定义，并在这两个引理的基础上，给出了加A,(λ,Ω)-权的局部积分估计式.

非齐次A-调和方程；微分形式；双权函数；积分不等式

近年来，非齐次A-调和方程的理论研究取得了很大进展，C.A.Nolder[1]证明了非齐次A-调和方程解的可积性等.本文将给出非齐次A-调和方程

及共轭A-调和方程

解的局部加权范数估计式.

引理1设u和v是非齐次A-调和方程(1)在Ω上的解，如果g∈Lp(Q,Λl),h∈Lq(Q,Λl)，那么du∈Lp(Q,Λl)当且仅当d*v∈Lq(Q,Λl)，而且存在不依赖于u和v的常数C1、C2，使得对所有的球Q，若Q⊂Ω，则有

引理2设u和v是非齐次A-调和方程(1)在Ω上的解，则存在不依赖于u和v的常数C，使得对所有的球Q，若σQ⊂Ω，有

这里σ是一常数且σ>1.

定义1称权(ω1(x),ω2(x))满足Ar(λ,Ω)条件，r>1,λ>0，记为(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，如果对任意的球体Q⊂Ω，满足

定理1设u和v是非齐次A-调和方程(1)在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，r>1，那么存在一不依赖于u和v的常数C，使得对所有的球Q，若Q⊂Ω，有

证明由于s=(1-α)q

综合(10)与(11)有

类似地，可得

综合(6)与(7)，便有

把(8)、(12)、(13)代入(14)中，便得

由于(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，于是

把(16)代入(15)便有

证毕.

采用相同的方法，可以得出关于du的Ls-加权估计.

定理2设u和v是非齐次A-调和方程(1)在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，r>1，那么存在不依赖于u和v的常数C，使得对所有的球体Q，若Q⊂Ω，有

1.9 统计学处理 采用 SPSS 20.0 软件进行数据处理。呈正态分布的计量资料以±s 表示，两组间比较采用两样本均数比较的 t 检验（若方差不齐则采用 Welch 校正的 t 检验）。检验水准（α）为 0.05。

事实上，不等式(18)等价于

定理3设u和v是共轭A-调和方程(1-4)在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，r>1，那么存在不依赖于u和c的常数C1与C2，使得对所有的满足Q⊂Ω的球体Q及任意的满足αr<1的正常数α，有

证明当g=0与h=0时，应用定理1可得

由计算可得

把(22)代入(21)可得

类似地，利用定理1在g=0、h=0时可得

定理4设u和v是共轭A-调和方程A(x,du)=d*v在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω),r>1，那么存在一不依赖于u和v的常数C1与C2，使得对所有的满足Q⊂Ω的球体Q及任意的满足αr<1的正常数α，有

证明应用推广的Hölder不等式及引理2有

由于

因此

经计算可得

综合(25)、(27)与(28)，可得

由(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)可得

把(30)代入(29)可得

(23)证明完毕，类似地可证(24).

〔1〕C.A.Nolder.GlobalIntegrabilityTheoremsforharmonicTensors.J.Math.Anal.Appl.2000,247:236～245.

〔2〕C.A.Nolder.Hardy-LittlewoodTheoremsforharmonicTensors.IllinoisJournalofMathematics.1999, 43:613～631.

〔3〕R.P.Agarwal,S.Ding.AdvancesinDifferentialForms andtheharmonicEquation.Math.Comput.Modelling. 2003,37(12-13):1393～1426.

〔4〕S.Ding,WeightedImbeddingharmonicTensors.PotentialAnalysis.2003,18:25～34.

〔5〕高红亚，陈银珠.A-调和方程弱解的逆Hölder不等式及其应用[J].应用数学，2002,15(4):102～104.

〔6〕S.Ding,C.A.Nolder.WeightedPoincaréInequalities forSolutionstoharmonicEquations.IllinoisJournalof Mathematics.2002,46(1):199～205.

〔7〕S.Ding,D.Sylvester.WeakReverseH?lderInequalities andImbeddingInequalitiesforSolutionstotheharmonicEquation.NonlinearAnal.TMA.2002,51(5): 783～800.

〔8〕冉启康.关于非齐次A-调和方程很弱解的合并问题[J].应用数学学报，2002,15(1):113～117.

O175.2

A

1673-260X（2013）03-0001-03

黑龙江教育厅科学技术研究项目(12521457)