特殊分块矩阵的群逆的表示

周洪玲，王 成，范广慧，袁海燕

（1.黑龙江工程学院 数学系，黑龙江 哈尔滨 150050；2.91428部队，浙江 宁波315456）

研究分块矩阵的广义逆对许多应用领域及广义逆的计算都十分重要，形如的矩阵对微分方程的最优解法起到了深远的影响[1－7]。而形如矩阵的Drain逆是由Campbell在文献[6]中提出的，并且至今尚未得到解决。在某些特殊条件下，人们给出了其群逆的一般表示。本文将在新的特殊情况下探索此类分块矩阵群逆的表示方法。

设Cm×n是所有m×n复矩阵的集合。设A∈Cn×n，若X∈Cn×n满足如下矩阵方程：

则称X为A的群逆，记作X＝A＃。由文献[8]知它若存在则唯一。如果仅满足AXA＝A，则称X为A的一个｛1｝－逆，记作X＝A（1）。又设A∈Cm×n，令A＊为A的共轭转置。

1 引理

引理1[8]设A∈Cn×n，Ind（A）＝1，则A＃＝A（A3）（1）A。

引理2[9]设A2＝A∈Cn×n，且rank（A）＝r≠0，则存在酉矩阵U，使得

2 主要结果

证明 （1）存在性（见文献[10]的定理1）

由分块矩阵的初等变换有

由式（ABC）（1）＝C（－1）B（1）A（－1）（A，C 可逆）有即

又A2＝A，由引理2知存在酉矩阵U使

则

于是不妨设

又由矩阵的初等变换得

由于ΔΔ＊半正定，从而I＋ΔΔ＊正定，因此，I＋ΔΔ＊可逆，则

由式（1）、式（4）得

其中B＝（I＋ΔΔ＊）－2，由引理1得

其中C＝（I＋ΔΔ＊）－1。

所以

[1]刘玉，曹重光.体上某些分块矩阵的Drazin逆[J].黑龙江大学：自然科学学报，2004，21（4）：112－114.

[2]J.H.wilkinson.Note on the practical significance of the Drazin inverse in Recent Applications of generalized Inverses[M].S.L.Campbell，Ed Pitman London，1982.

[3]曹重光.体上分块矩阵群逆的某些结果[J].黑龙江大学：自然科学学报，2001，18（3）：5－7.

[4]刘玉，曹重光.两类块阵的群逆表示[J].黑龙江大学：自然科学学报，2006，23（3）：413－414.

[5]M.P.Drazin.Pseudo inversion information processing letters[J].1988，26：263－267.

[6]S.L.campbell.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations[J].Linear and Multilinear Algebra，1983，14：195－198.

[7]GONZALES N C，DOPAZO E.Representations of the Drazin inverse of a class block matrices[J].Linear Algebra and its Applications，2005，400：253－269.

[8]王国荣.矩阵与算子广义逆[M].北京：科学出版社，1994：15－20.

[9]马元婧，曹重光.分块矩阵的群逆[J].哈尔滨师范大学：自然科学学报，2005，21（4）：7－8.