高等代数与解析几何一体化教学的注记

黄述亮

我校自2004年升本以来数学系两个本科专业一直使用北京大学数学系编写的《高等代数》（两个学期）和吕林根主编的《解析几何》（一个学期），由两个不同老师来讲授，占用的时间多，学生负担重，而且内容常出现交叉和重复，更糟糕的是学生对《高等代数》感到抽象难理解，对《解析几何》学得不深不透，这样就浪费了教与学的时间，而且也不利于两门课的学习，因此，把它们合并“一体化”开设意义重大。随着我校应用型本科院校办学的定位，我院现有的两个本科专业急剧需要转型，目前基本形成金融数学、保险精算、统计三个方向，只有这样才能扩大我院毕业生的就业面，同时新的人才培养方案即将出炉，在保证教学质量的前提下，增加开设一些符合我院未来发展方向、适应社会发展需求的新课程（比如证券投资学、数量经济学、市场管理等）使学生掌握更加实用的知识与技能，增加就业筹码，这对高等代数与解析几何的教学提出了新的要求，而且课时也较之前有了减少。在这样的形势下我们要重新探讨这两门课程的教学模式，数学科学学院从2011级新生开始已经在数学与应用数学、信息与计算科学两个本科专业中对《解析几何》和《高等代数》实施“一体化”教学，考虑到我院学生的实际情况，最终采用了同济大学应用数学系主编的《高等代数与解析几何》作为试用教材。本文结合我院实施的两课“一体化”教学实践的经验，从几个不同方面对高等代数和解析几何的一体化教学进行研究和探讨。

1 两门课程一体化教学的必要性

众所周知，从上个世纪中叶开始，我国高校的数学各专业都开设数学分析、高等代数和解析几何这三门基础课程，所谓“三基”教学模式。随着现代科技的发展，课程改革作为教育改革的核心环节在全世界范围内受到空前的重视。怎样才能让学生在一定的时间里获得尽可能多的知识，培养成为基础扎实、高素质、动手能力强的复合型人才，已成为课程改革的一个极其重要的方面。越来越多的与现代数学和计算机科学有关的课程在客观上要求必须重新安排课程以节省时间。高等代数与解析几何作为传统“三基”模式下的“二基”，关系非常密切，几何与代数互为问题、合理的结合不仅必要而且切实可行（在历史上，几何与代数相结合的思想是微积分学巨大生命力的主要源泉）。同时，传统的课程体系往往强调本门课程的独立性、完整性和系统性。解析几何与高等代数这两门课基本在大学第一学期同时开设，由于两门课程有不少内容重复，高等代数往往先讲一元多项式理论，然后才到行列式，而解析几何中的向量运算需要行列式的基本知识，如果不灵活调整就会出现两者进度上的错位。其实，早在20世纪50年代，我国著名数学家华罗庚在中国科学技术大学就尝试将“三基”采用“一体化”的教学模式，然而由于种种原因最后失败了。基于上述认识，目前已有很多高校数学系将高等代数与解析几何二门课程合成一门新的课程，相关的教材也不断出现，像南开大学孟道骥编写的《高等代数与解析几何》，华东师范大学陈志杰编写的《高等代数与解析几何》等都是这方面相当不错的教材。

2 正确处理两门课程的关系

3 重视代数与几何方法在实际问题中的应用

高等代数的内容的确抽象，实际每个概念先有其产生的背景，然后是概念的抽象，最后是概念的应用。然而我们在教学中往往忽略了两边，只保留了中间部分，初学者感到抽象也就不足为奇了。在教学中我们应该尽可能把概念的来龙去脉讲清楚，不仅要列举出实际背景材料帮助学生理解，还应当在抽象概念的分析后说明这样做的原因，这样才能提高学生的抽象思维能力。比如在讲完矩阵的对角化问题后，就可以介绍一些应用层面的例子：比如著名的裴波那契兔子问题，年龄结构种群的离散模型等都要用到矩阵对角化的相关知识；再比如与电学中著名的基尔霍夫定律和电压定律有关的黑箱的响应函数就可以利用线性变换的理论解决；还有在处理热敏电阻温度曲线数据和计算GPS卫星轨道等方面有重要应用的多项式拟合就要用到的一元多项式的一般理论。学生对些问题是比较感兴趣的，这些问题的引入可以拓宽学生的知识视野，让学生加深对数学本质的理解，学生就会觉得学习不再枯燥，知识的确有用。此外，鼓励学生参加一些应用性训练，比如全国大学生数学建模竞赛，那真正是理论联系实际，锻炼学生解决实际问题的能力。

4 内容重组，模块教学

所谓解析几何就是以代数方法研究几何问题，高等代数中很多概念都有其几何模型，两门课程的交叉内容很多，比如解析几何中的线面方程及线面位置关系就相应与代数中矩阵的秩及线性方程组，因此两门课程关系密切，在实施一体化教学时可以考虑内容的优化与重组，分成几个教学模块进行，层次更加清楚，具体分配如下：（1）行列式与矩阵为第一模块：行列式的计算和矩阵的初等变换是整个代数与几何的核心计算，也可以说是一种工具，在求解线性方程组、二次型的化简、判断线面位置等方面有着重要应用；（2）线性空间、线性变换、内积空间（酉空间）为第二模块：这是整个课程的核心所在，最能体现现代数学研究的对象——抽象的“结构”；（3）二次曲线、二次曲面及二次型为第三模块：二次型可以看成是二次曲线或二次曲面的二次项部分，在解析几何中，二次曲线和二次曲面的化简是通过不变量来实现的，而正交变换下的不变量就是由系数构成的行列式，因此二次曲线和二次曲面可通过矩阵来表示，并且可以利用二次型的正交变换来实现其分类；（4）一元多项式和λ－矩阵为第四模块：多项式是整个高等代数中相对独立的一章，而其一般理论可以为λ－矩阵（元素是多项式）提供基础；（5）直线、平面、线性相关性、线性方程组为第五模块：线性方程组的每个方程的图形就是一张超平面，线性方程组有解的问题可以表示为其常数项列向量能由其系数列向量线性表示等，因此这些概念之间关系密切，放在一起组织教学是合理的。利用模块教学有利于学生更好的从总体上把握这课的知识结构，掌握知识间的内在联系，课程体系将更加明朗。

5 转变传统的教学模式

传统的教学模式基本上是重知识传授，轻能力培养，学生在教学中应有的主体地位没有展现出来。因此我们强调在教学内容上要有一定的开放度，在讲授中注意穿插讨论式、提问式等。特别是习题课也可尝试学生和教师集体讨论，发挥学生的主观能动性。在教学手段上，要让多媒体发挥恰当的作用。对于一些逻辑性强的内容，其推导过程板书教学为宜（比如，根子空间分解定理的证明过程），如果运用多媒体教学，学生就没有了思考余地；有些纯粹计算性的内容，其过程（比如，求一个三阶矩阵的逆，化二次形为规范型等）可以运用多媒体辅助，还可以介绍给学生常用的数学软件（如Matlab），只需要讲清楚其原理，让学生自己动手到计算机上实践。有些涉及到图形的问题（比如，二次曲面及其分类）利用计算机处理图形的完美功能，可以增强直关性和可视效果，而且还可以节省宝贵的课堂时间。合理运用多媒体集“声音、图象、动画”于一体的效果及计算机强大的计算优势辅助课堂教学，可以大大调动学生多种感官学习的积极性。同时增大课堂教学信息量，提高课堂教学效果。此外，要坚持课上“授业”和课下“解惑”（包括学习、生活、职业规划等）相结合的原则，现在比较普遍的是课堂上的师生关系在课下变的非常淡，也就很难实施课下辅导等环节了，其中一个比较主要的原因可能是良好的师生关系没有真正建立。最后，要定期跟学生交流（面对面、书面、电话、电邮等）以便了解教学中存在的问题和学生的学习情况，采纳学生提出的一些好的建议并及时改进，不断提高课堂教学效果。

6 采用灵活多样的课程考核方式

必须要改变期末一次终结性考试为教学全过程的考核，加大平时考核力度，包括考勤制度（比如我院已经开始施行的上课签名制度就是非常好的一个举措）实现教学的步步为营，避免学生学习的前松后紧的失衡局面。同时，学生作业、参与自学、讨论、课堂提问等方面也要纳入考核的范畴，只有这样才能在知识、能力、素质等方面对学生进行了全方位考核。我们认为比较完整的考核应该包括以下几个层面：（1）课堂提问：要占有一定的比例（比如5%～10%）可以调动学生学习主动性与积极性，减少课堂的沉闷现象；（2）小论文：对于一些应用性比较强的问题可以让学生结合所学知识建立数学模型解决，或写出小论文，结合学生提交的小论文质量、提出的问题与解决问题的方法等来评定；（3）单元测验；（4）期中考试；（5）作业部分；（6）考勤情况；（7）期末考试。

［1］ 郁金祥，刘锦萍.高等代数与解析几何的教学实践与认识［J］.高等理科教育，2006（3）：12－14.

［2］ 王伟沧.关于高等代数与解析几何教学的思考［J］.交通高教研究，2001（4）：44－45.

［3］ 王元金，陈萍清.关于高等代数与解析几何分与合的几个问题［J］.辽宁师范大学学报，2001（1）：105－109.

［4］ 杨德贵.高等代数与解析几何一体化教学改革的探索［J］.贵州师范大学学报，2005（4）：97－100.

［5］ 徐为坚.高等代数与解析几何课程合并教学的优化问题［J］.玉林师范学院学报，2004（3）：25－28.