混沌鱼群算法计算静态电压稳定裕度

李娟，周建颖，王坤，闫乃欣，陈晓晋

（东北电力大学电气工程学院，吉林 132012）

混沌鱼群算法计算静态电压稳定裕度

李娟，周建颖，王坤，闫乃欣，陈晓晋

（东北电力大学电气工程学院，吉林 132012）

针对人工鱼群算法对初始值具有一定的依赖性，且易陷入局部最优解的缺点，将混沌算法引入到鱼群算法中组成混沌鱼群算法，并提出一种混沌鱼群算法和连续潮流算法结合求取系统的最大静态电压稳定裕度的方法。该算法在初始化鱼群，即变压器分接头等系统控制变量值时，采用混沌算法得到混沌矢量，并将其映射到控制变量约束范围内，可以增加控制变量初值的多样性。算法将待求解系统的静态电压稳定裕度的目标函数作为食物浓度值；将系统控制变量组成的行向量作为单个鱼个体；采用连续潮流算法分别计算整个鱼群中每条鱼处的食物浓度值，即稳定裕度，然后通过鱼群算法对控制变量进行更新，在全局范围内得到系统的最大静态电压稳定裕度。算例验证了算法的有效性。

电压稳定；裕度；罚函数法；混沌算法；鱼群算法

电压稳定性问题是目前研究的热点问题之一。纵观古今中外，由于电压崩溃导致的电力系统瓦解事故曾多次发生。例如：1978年法国电力系统发生的电压崩溃事故；2003年8月15日由于电压崩溃导致的美加大停电事故[1]；1972年湖北电网因电压崩溃而导致全网解列，武汉、黄石、黄岗三地区全部停电[2]，等等。这些电力系统事故都造成了巨大的经济损失和严重的社会秩序紊乱。因此，如何保证电力系统保持电压稳定运行，以提高系统运行的安全性，具有重要的现实性意义。

系统的静态电压稳定裕度是指从当前运行点出发，不断增加系统负荷直至发生电压崩溃，崩溃点到当前运行点的距离。它标志着系统当前运行状态的安全性和稳定性，是运行调度人员判断系统稳定性程度的方便、快捷的工具。目前，衡量电压稳定性的裕度指标有电压裕度、功率裕度和相对电距离三种。实践表明，用功率裕度表示电力系统的电压稳定性更加有效。因此，本文将采用功率裕度表示电力系统的稳定裕度。

目前已应用于静态电压稳定性分析的方法有多种，主要包括灵敏度分析法、潮流多解法、最大功率法、特征值分析法（或奇异值分析法）、崩溃点法、连续潮流法、非线性规划法等。其中连续潮流算法CPF（continuous power flow）[3～8]是电压稳定性分析的有力工具，它可以克服接近电压崩溃点时雅可比矩阵奇异问题，求得电压崩溃点，进而求得系统的电压稳定裕度。但连续潮流算法是假设求解函数具有连续性和可导性为前提的。实际的电压稳定问题中，求解场不能保证是凸函数，控制变量如变压器分接头变比、并联电容器组的投切容量等都是离散的整数值，这使得单纯连续潮流算法的应用受到了限制。

近年来新兴的人工智能算法可以较好地处理离散型变量，解决非凸性函数优化问题。迄今为止已有人将智能优化算法应用到电力系统静态电压稳定裕度的计算中[9～11]。由此受到启发，本文提出了混沌鱼群优化算法与连续潮流算法结合计算系统的最大静态电压稳定裕度，并通过算例仿真计算验证了算法的有效性。

1 电压稳定分析的数学模型

1.1 计算静态电压稳定裕度数学模型

设系统共有N个节点，其中1个平衡节点，NPQ个PQ节点，其余（N-NPQ-1）个为PV节点。系统的负荷模型采用多项式模型（即ZIP模型）。

将系统的电压稳定裕度最大作为目标函数，即

式中：λcr表示电压崩溃点处的负荷水平；λ0表示系统当前运行状态的负荷水平。

在直角坐标下，系统的潮流方程表示系统的等式约束条件。式中：λ为负荷水平；PG，（iλ）、QG，（iλ）分别为节点i在负荷水平为λ时的发电机有功、无功出力；PL，（iλ）、QL，（iλ）分别为节点i在负荷水平λ时的有功、无功负荷2i为PV节点电压的平方；Gij、Bij分别为节点导纳矩阵元素的实部和虚部；ej、fj分别为节点电压的实部和虚部；j∈i表示所有节点j与i直接相连。

不等式约束分为状态变量约束和控制变量约束两种。

状态变量的不等式约束为

1.2 精确罚函数法处理目标函数

静态电压稳定裕度求解的约束条件中，潮流等式约束条件可在潮流求解过程中自动满足，控制变量的不等式约束也可以在鱼群算法初始鱼群生成时自动得以满足。因此，在求解过程中实际需要考虑的约束条件为状态变量的不等式约束。

本文采用精确罚函数法处理状态变量的不等约束条件，将不满足约束条件的状态变量以惩罚项的形式加到目标函数中[12]。求解静态电压稳定裕度的目标函数可以表示为

式中：α为对发电机无功出力越限的惩罚项的惩罚系数；β为对PQ节点电压越限的惩罚项的惩罚系数。其中

通过精确罚函数法处理后的目标函数，既可以满足PQ节点电压的不等式约束，又处理了发电机无功越限的限制，省去了无功越限时将PV节点转化为PQ节点时修改雅可比矩阵的计算量。因此，可以提高计算的精度和速度。

2 混沌鱼群与连续潮流结合求解静态电压稳定裕度

2.1 鱼群算法

鱼群算法AFSA（artificialfishswarmalgorithm）[13]由我国学者李晓磊于2002年提出，算法从鱼类寻找食物的过程受到启发，通过模拟鱼寻找食物过程中的觅食、追尾、聚群行为对问题进行寻优计算，最终求得问题的最优解。

2.1.1 相关参数

假设在一个D维的搜索空间中，鱼群群体规模以N表示；人工鱼个体向量记为Xi=[xi1，xi2，…，xiD]，i=1，2，…，N，其中xi1，xi2，…，xiD为欲寻优的变量，对应于静态电压稳定问题中的变压器分接头等控制变量；人工鱼个体当前位置食物浓度为FCi，即静态电压稳定问题的裕度值；人工鱼个体之间的距离为dij=‖Xi-Xj‖；寻优次数为try_number；人工鱼的感知距离为visual；人工鱼移动的最大步长为Step；拥挤度因子为δ。

2.1.2 行为描述

以求解最大值问题为例（最小值问题可以转化为最大值问题的求解），对鱼群算法的个体鱼行为进行描述。

（1）觅食行为：鱼通过视觉或味觉感知水中的食物量（或食物浓度）来选择趋向。设人工鱼当前状态为Xi，在其感知距离visual内随机选择一个状态Xj，若FCi〈FCj，则向该方向移动一步；否则，随机选择另一状态看是否满足前进条件。若尝试try_number次后仍不满足，则随机移动一步。

（2）聚群行为：为了集体觅食和躲避敌害，大量或少量的鱼都聚集成群。设人工鱼当前状态为Xi，搜索其感知距离visual内伙伴个数m及其中心位置Xc，m条人工鱼形成的集合为

若FCc〉FCi且m/N〈δ，表明伙伴处有较高的食物浓度且不太拥挤，则向中心位置Xc方向移动；否则执行觅食行为。

（3）追尾行为：尾随发现食物的鱼，向食物移动。设人工鱼当前状态为Xi，搜寻其感知距离visual内最优人工鱼的状态Xmax，若FCi〈FCmax且满足m/N〈δ，表明Xmax处有较高的食物浓度且其周围不太拥挤，则向Xmax方向移动；否则执行觅食行为。

2.1.3 公告板

算法中设立公告板，人工鱼每次寻优后，将自身状态与公告板上值进行比较，若优于公告板上值，则以自身值替换之。算法结束后，公告板上值即为优化问题最优解。

2.2 混沌鱼群算法

混沌算法COA（chaos optimization algorithm）[14]具有遍历性、规律性及对初始条件极度敏感等特点。由于该算法在一定搜索范围内能够规律地不重复地遍历所有状态，因此，可以对混沌运动的这些特性加以利用进行寻优搜索。尤其当搜索空间较小时，混沌算法将显示出巨大的搜索优越性。

本文将混沌算法用于鱼群算法初始鱼群的生成中，形成混沌鱼群算法CAFSA（chaos artificial fish swarm algorithm）。该算法在全局范围内生成初始鱼群，保证了鱼群种群的多样性，更利于鱼群算法对优化问题的寻优求解。

2.3 静态电压稳定裕度的求解

用混沌鱼群算法求解系统的静态电压稳定裕度，可按以下步骤进行。

1）输入系统各节点和各支路的原始数据，最大迭代次数Gmax。输入人工鱼群算法的参数，包括：群体规模N、最大寻优次数try_number、人工鱼的感知距离visual、人工鱼移动步长最大值Step、拥挤度因子δ。

2）置当前迭代次数G=1，并生成各人工鱼个体数据，形成初始鱼群。每个人工鱼个体按以下方法生成：

a）随机产生一条人工鱼，然后采用混沌算法产生整个鱼群：人工鱼的位置Xi的各维变量由静态电压稳定问题的控制变量VG、T、QC组成，本文采用十进制整数编码表示为

采用随机数发生器随机产生一个（Ng+Nt+ Nc）维，且各分量均在0～1之间的混沌矢量

其中n=（Ng+Nt+Nc），z1i（1，2，…，n）表示控制变量。将Z1代入式（11）所示的Logistic完全混沌迭代公式，计算得N个矢量Z1′，Z2′，…，ZN′（N为鱼群的群体规模）。

然后，利用式（12）将其映射到式（4）的控制变量约束范围内，即得初始鱼群。

其中：aj为控制变量的下限值，bj为控制变量的上限值。

b）根据生成的各条人工鱼进行潮流计算，若潮流收敛，则保留该人工鱼个体，即该组控制变量，否则转至a）。

c）已生成N个人工鱼，则转至步骤3），否则转至a），继续生成人工鱼个体，直至产生N组满足潮流方程的控制变量组为止。

3）用连续潮流算法计算各人工鱼个体当前位置食物浓度的值FC，即式（5）表示的电压稳定裕度值，并比较大小，取最大值计入公告板，以保存该组控制变量及稳定裕度值。

4）各人工鱼执行追尾行为，若追尾失败，则执行觅食行为。

5）计算各人工鱼行动之后值，并与公告板上值进行比较，若优于公告板状态，则取代公告板上的值。

6）判断是否已达最大迭代次数Gmax，若是，则输出公告板上值作为最终结果；否则转至4）。

2.4 算法框图

利用混沌鱼群算法和连续潮流算法结合计算系统的最大静态电压稳定裕度的流程如图1所示。

图1 混沌鱼群算法流程Fig.1Flow chart of CAFSA

3 算例分析

为验证本文算法的有效性，分别用标准IEEE6 的14标准节点系统进行优化计算，并将结果与基本鱼群算法进行比较。

3.1 种群规模的选取

采用鱼群算法进行静态电压稳定裕度的计算，鱼群规模的选取对计算时间和精度都有一定的影响。当种群规模越大，算法每次迭代时需要寻优的次数就会越多，从而整个算法的计算时间越长。因此，种群规模应选取合适，以防止算法时间过长。在种群规模对精度的影响方面，本文以IEEE6节点系统为例进行了计算以确定种群规模，如图2所示。图2说明，当N≥30时即能搜索到较优的解。本文为兼顾算法速度与精度双重因素，选取种群规模N=30。

图2 鱼群规模选取曲线Fig.2Selection curve of fish swarm scale

当利用鱼群算法进行优化问题的求解时，对于鱼群规模小于50的群体，鱼的聚群行为并不明显[15]。因此，为进一步提高算法的计算速度，本文忽略鱼的聚群行为，只执行追尾行为，缺省行为为觅食行为。

3.2 电压稳定裕度目标函数中惩罚系数的选取

表1 α、β不同取值对收敛性影响Tab.1Influence of astringency with different α、β

3.3 混沌鱼群算法全局性的验证

为证明采用混沌算法生成的初始鱼群具有全局性特点，本文用MATLAB对采用随机数发生器和采用混沌算法产生的初始鱼群在全局范围内的分布分别进行仿真，结果如图3、图4所示。

图3 采用随机数发生器生成初始鱼群分布图Fig.3Initial school of fish distribution map based on random number generator

由图3、图4对比可见，采用混沌算法产生的初始鱼群分布在整个数据空间当中，而随机数发生器产生的初始鱼群则分布在局部范围内。因此，当采用混沌算法生成初始鱼群时，产生的数据更利于全局性搜索，可避免算法陷入局部最优解。同时，混沌算法产生的初始鱼群避免了重复数据的产生。

图4 采用混沌算法产生初始鱼群分布图Fig.4Initial school of fish distribution map based on COA

3.4 最大静态电压稳定裕度计算

以标准IEEE6和IEEE14为例，采用本文所提方法计算系统的静态电压稳定裕度结果如表2～表5所示。并将结果分别与鱼群算法、基本连续潮流算法、遗传算法和免疫算法进行比较，说明方法的有效性。

表2 IEEE6节点系统控制变量最优解Tab.2Optimal solution of control variables of IEEE6 p.u.

表3 IEEE6节点系统的最大静态电压稳定裕度Tab.3Voltage stability margin of IEEE6 p.u.

由表2和表3可见，采用混沌鱼群算法和鱼群算法搜索到的控制变量值有所差别，并且在混沌鱼群算法搜索的控制变量值下系统具有较大的静态电压稳定裕度。这说明调节系统的控制变量，可以达到调整系统的静态电压稳定裕度的目的，也说明采用较好的搜索方法能够搜寻到更好的控制变量组合，提高系统的电压稳定性，对系统的运行具有一定的指导意义。

分析表4和表5可知，由于混沌算法生成初始鱼群的全局性和鱼群算法良好的全局收敛性，用混沌鱼群算法计算得到的系统的静态电压稳定裕度值优于其他算法。这进一步说明，本文算法能够在更大区域内搜索控制变量的最佳组合方式，从而实现静态电压稳定裕度的最大化。

表4 IEEE14节点系统控制变量最优解Tab.4Optimal solution of control variables of IEEE14 （p.u.）

表5 IEEE14节点系统最大静态电压稳定裕度Tab.5Voltage stability margin of IEEE14 （p.u.）

3.5 算法收敛性比较

本文在对IEEE6节点系统进行仿真计算的同时，追踪记录了每次迭代结束时公告板值与上一次迭代结束时公告板值的差值，并计算了连续3次差值达0.001时的迭代次数，如表6所示。

分析表6可知，当采用随机数法生成初始鱼群时，当达到算法设置的最大迭代次数时，仍未达到想要的结果；而混沌算法在第92次迭代时可达要求。由此可见，由于采用混沌算法时可以产生全局性数据，进而使得优化问题在解算过程中可以更加快速地收敛于最终解。这表明采用混沌算法产生初始数据可以提高算法的收敛性。

表6 迭代次数Tab.6 Iterative number of times 次

4 结语

本文采用罚函数法处理状态变量不等式约束，将其以惩罚项的形式加入目标函数中作为静态电压稳定裕度的优化模型，避免了由于缺乏对状态变量约束的考虑而导致计算所得静态电压稳定裕度过于乐观。

提出了利用混沌算法初始化控制变量，并采用混沌鱼群与连续潮流结合求取系统的静态电压稳定裕度。混沌鱼群算法可以在全局范围内生成控制变量初值，克服了鱼群算法对初值的依赖而易陷入局部最优解的缺点；连续潮流法通过加入连续化参数，克服了因潮流在极值点难以求解而得不到人工鱼个体对应的静态电压稳定裕度问题。通过算例分析，并与遗传等其它算法进行比较，结果表明该方法可以搜索到更优的控制变量组合使得系统具有更大的静态电压稳定裕度，并具有较快的收敛性。

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Calculation of Static Voltage Stability Margin Based on Chaos Artificial Fish Swarm Algorithm

LI Juan，ZHOU Jian-ying，WANG Kun，YAN Nai-xin，CHEN Xiao-jin
（School of Electrical Engineering，Northeast Dianli University，Jilin 132012，China）

n the paper，artificial fish swarm algorithm depends on initial value is considered，and it is easy to trap in local optimal solution，Chaos optimization algorithm is adopted in artificial fish swarm algorithm to compose chaos artificial fish swarm algorithm.At the meantime，a new method which combines continuation power flow and chaos artificial fish swarm algorithm is applied to solve the maximum static voltage stability margin.In the algorithm，when initializing the fish swarm，which stand for transformer taps and other control variables，chaos optimization algorithm is used to obtain chaos vector which is mapped to control variable restraint scope afterwards.In this way，the multiplicity of control variables′initial value is increased.The algorithm takes the objective function of solving the maximum static voltage stability margin as food consistency and control variables′vector quantity as fish individual.Continuation power flow is used to calculate every fish individual′s food consistency which is stands for stability margin.Then，artificial fish swarm algorithm is used to renew control variables.Finally，the maximum static voltage stability margin can be obtained in the global situation scope.Examples confirm the validity of the algorithm.

voltage stability；margin；penalty function method；chaos optimization algorithm；artificial fish swarm algorithm

TM712

A

1003-8930（2013）04-0079-06

李娟（1972—），女，博士，教授，研究方向为电力系统优化运行与控制及FACTS。Email：hitljzgfy@Yahoo.com.cn

2011-07-26；

2011-08-17

周建颖（1986—），女，硕士研究生，研究方向为电力系统电压稳定性。Email：zhoujianying925@163.com

王坤（1987—），男，硕士研究生，研究方向为电力系统控制及FACTS。Email：wangkun880214@yeah.net