“矩阵乘法”课堂教学研究*

孙 兵，谷徳峰，屈龙江，海 昕

(国防科学技术大学理学院，湖南长沙410073)

矩阵的运算是线性代数课程教学中最重要的问题之一，而矩阵乘法又是这个重要问题中最关键的知识点.很多教材直接给出矩阵乘法的公式，然后解释公式的含义［1－4］.这种方法有其优点，但笔者认为由于这样的引入没有任何背景，学生不易接受.

线性方程组及矩阵的初等行变换是贯穿于线性代数这门课程的主线，理解这两点对掌握线性代数核心思想和概念至关重要.我们在教学的时候，采用了由线性方程组引入矩阵乘法的方法，并由高斯消元法讲述求矩阵逆的初等变换法.其引入按照以下顺序逐步展开:首先介绍矩阵左乘向量的规则并引入线性方程组的矩阵记号，其次介绍具有相同系数矩阵的线性方程组的矩阵记法，在此基础上引入矩阵的乘法及矩阵求逆的初等变换法.

1 线性方程组的矩阵表示以及高斯消元法

首先，我们必须解释上述记号的合理性，以及上述记号与学生已有知识之间的联系.矩阵A的记法对大部分学生而言不会有异议，问题是，为什么用列向量表示未知变量?用行向量不行吗?

根据中学所学的知识，方程组的解最终可写成如下形式:

从这个角度来理解将未知变量写成列向量形式是很自然的.根据线性方程组，我们可以定义矩阵左乘向量的规则，尽管这只是矩阵相乘的一个特例，但实践表明，由于相对直观，学生比较容易理解矩阵左乘向量规则.

大部分教材在讲高斯消元法时，都是针对线性方程组的增广矩阵来说的.我们在实践中做了一点改变，在课程讲解中着重说明了高斯消元法只跟系数矩阵有关，与常数列是无关的.只要将消元的过程代入回去，就可以看到常数列是如何改变的，进而得到方程组的解.针对例1而言，我们求解过程如下:

首先，针对系数矩阵，对原方程组进行消元，并回代:

正是由于对系数矩阵和常数列的行进行了相同的行操作，所以我们可以直接对线性方程组的增广矩阵做初等行变换进行求解.

2 同系数矩阵的多个线性方程组的高斯消元法

解:写成矩阵的形式，上述方程组可写成Ax=b1和Ay=b2的形式.对于前者，例1已经求出，即注意到上述两个方程组的系数矩阵相同，因此消元的步骤也相同，即

上述方程组可以简单记作［Ax，Ay］=A［x，y］= ［b1，b2］，即 A［x，y］= ［b1，b2］等价为 Ax=b1且 Ay=b2.

3 矩阵乘法

经过 求 解，例 2 中的 A［x，y］= ［b1，b2］可 以 写 成的形式.反之，上述等式也可理解成一个矩阵分别左乘两个不同的向量.这实际就是分块矩阵的思想.

至此，将例2进行推广，即对于多个具有相同系数矩阵的线性方程组，我们可以有一个简单的记号，同时给出矩阵乘法的定义，我们称之为矩阵乘法的列公式:

从这个公式出发，可以给出矩阵乘法的元素公式和按行展开公式，此处就不再赘述了.这个定义还能说明以下两个问题:

(1)AB=BA通常不成立，因为等式左边是对A的列做初等变换，等式右边是对A的行做初等变换;

(2)AB=O不能说明A=O或B=O，因为齐次线性方程组Ax=0可以具有非零解，而将若干非零解并置得到的矩阵B一定满足AB=O.

4 矩阵的逆

利用例2和上述引入矩阵乘法的过程，“初等变换求矩阵的逆”这部分很容易讲透，因为对于给定的n阶方阵An而言，求解A－1n的过程实际上就是求解n个线性方程组的过程，这n个方程组对应的解就是A－1n的n个列.

线性方程组的高斯消元法是贯穿于线性代数这门课程的一条主线，由于学生在中学阶段已有这方面的相关知识，因此从线性方程组出发引入线性代数相关思想和概念相对比较容易让学生接受.

［1］冯良贵，戴清平，李超，等.线性代数与解析几何［M］.北京:科学出版社，2008.

［2］上海交通大学数学系线性代数课程组.线性代数［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［3］李尚志.线性代数［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［4］李尚志.数学的神韵［M］.北京:科学出版社，2012.