一类椭圆曲线有正整数点的判别条件
2013-06-27杨海付瑞琴
杨海,付瑞琴
(1.西安工程大学理学院,陕西西安 710048;2.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安 710062)
一类椭圆曲线有正整数点的判别条件
杨海1,2,付瑞琴2
(1.西安工程大学理学院,陕西西安 710048;2.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安 710062)
设p是适合p≡1(mod 8)的奇素数.本文主要利用初等方法证明了椭圆曲线y2=px(x2+1)在p≡9(mod 16)时没有正整数点(x,y);并且对于p≡1(mod 16)的情况,给出了该椭圆曲线有整数点的两个判别条件.
椭圆曲线;正整数点;判别条件
1 引言
近年来,椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何中引人关注的研究课题.设p是素数,对于椭圆曲线
文献[1]证明了它至多有1组正整数点(x,y).此后,文献[2]证明了:当p=2时,椭圆曲线(1)仅有正整数点(x,y)=(1,2);当p是适合p/≡1(mod 8)的奇素数时,椭圆曲线(1)没有正整数点.由此可知,椭圆曲线(1)的正整数点的存在性只需考虑p≡1(m od 8)时的情况.最近,文献[3]证明了:如果p=22m+1是Fermat素数,其中m是大于1的正整数,那么(1)有正整数点.本文将对一般的p给出(1)有正整数点的判别条件.
对于给定的正整数n,n可唯一地表示成n=dm2,其中d和m是正整数,d是无平方因子.这样的d称为n的无平方因子部分,记作d(n).
设N是全体正整数的集合.由文献[4]中第2.2节可知:当p≡1(m od 4)时,方程
此时,(u,v)=(uk,vk)(k=1,3,5,…)是方程(2)的全部解.
本文利用初等数论方法证明了以下结论:
定理1.1当p≡1(mod 8)时,椭圆曲线(1)有正整数点的充要条件是2łd(u1)且ud(u1)是平方数.其中(u1,v1)是方程(2)的基本解,(ud(u1),vd(u1))适合(3)式.当此条件成立时,椭圆曲线(1)仅有正整数点
定理1.2当p≡9(mod 16)时,椭圆曲线(1)没有正整数点.
定理1.3如果p=16r4+1时,其中r是正整数,那么方程(2)必有正整数点.
显然,定理1.2改进了文献[2]的结果,定理1.3包含了文献[3]的结论,并且由此可推知椭圆曲线(1)在p=2107等不是Fermat素数的情况下也有正整数点.
另外,由于文献[5]已经证明:当3łd(u1)或者5łd(u1)时,ud(u1)不是平方数;并且猜测:当d(u1)是大于1的正奇数时,ud(u1)都不是平方数.因此本文提出以下猜想:
猜想当p≡1(m od 16)时,椭圆曲线(1)有正整数点的充要条件是u1为平方数,这里(u1,v1)是方程(2)的基本解.
2 一个引理
3 定理的证明
定理1.1的证明由文献[2]的分析可知:当p≡1(mod 8)时,椭圆曲线(1)有正整数点的充要条件是p满足
当条件(8)式成立时,椭圆曲线(1)仅有正整数点
由于条件(8)式成立等价于方程
有解(X,Y),所以根据引理1.1即可得定理1.1.
定理1.2的证明当p满足(8)式时,如果b=1,那么因为2|a,于是由(8)式可得
于是,根据Jacobi符号的性质(参见文献[7]的定理3.6.3),由(12)式和(15)式可得b≡1(mod 8),因此b2≡1(mod 16),并且由(8)式可知此时p也满足(11)式.由此可知:当p≡9(m od 16)时,椭圆曲线(1)没有正整数点.定理1.2证完.
定理1.3的证明当p=16r4+1时,因为条件(8)在a=2r且b=1时成立,故由文献[2]可知此时椭圆曲线(1)必有正整数点.定理1.3证完.
参考文献
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[7]华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社,1979.
The criterions for a kind of ellip tic cu rve has positive in teger poin ts
Yang Hai1,2,Fu Ruiqin2
(1.School of Science,X i′an Polytechnic University,Xi′an 710048,China;
2.College of Mathematics and In formation Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710062,China)
Let p is an odd p rim e w ith p≡1(m od 8).The m ain purpose of this paper is using the elem entary m ethods to p rove that if p≡9(m od 16),then the ellip tic cu rve y2=px(x2+1)has no positive integer point (x,y).Moreover,for p≡1(mod 16),two criterions for the elliptic curve has positive integer points are given. K ey w ords:elliptic curve,positive integer point,criterion
O156
A
1008-5513(2013)04-0338-04 DO I:10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.002
2013-05-27.
国家自然科学基金(11226038);陕西省教育厅专项基金(11Jk0474,11Jk0472);西安工程大学博士科研基金(BS1016).
杨海(1979-),博士后,讲师,研究方向:数论及其应用.
2010 M SC:11D 25