基于单层小波变换的压缩感知图像重构技术

曹晓勇 屈静军

一、引言

信息技术的发展使得需要处理的信息剧增。在传统的信号采集过程中，为了避免信号失真及码间干扰，一般都会遵循奈奎斯特采样定理（又称香农采样定理）。它指出，要想精确的重构信号，采样速率必须达到信号带宽的2倍以上。随着获取数据能力的不断增强，需要处理的数据量的不断增多，这对信号的处理能力有了更高的要求，在实际A/D转化过程中往往需要很高的采样率，同时又需要对采集来的大量的原始数据进行压缩和传输，这对存储、传输和计算都造成了很大程度的浪费。近年来，提出了一种新的理论—压缩感知（Compressed Sensing）[1，2]，它通过开发信号的稀疏特性，将信号在某种空间下表示出来，在保证信息不丢失的前提下，用远小于奈奎斯特采样率的随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。这样极大的降低了信号采样速率、处理时间以及传输和存储成本。

目前，压缩感知在实际中的应用有了一定得研究。国内也有很多这方面的研究，但主要是压缩感知理论的介绍[3]。因此还需要进行更深入的研究。

二、压缩感知理论简介

设一离散信号x长度为n，如果x包含r个非零元素，且r<

xy=Ψ （1）

其中y=yr+w。yr是y中的零元素，w是y中值很小的元素。在一定得精度要求下，w也可近似为0。

对于信号x，若将其投影到一组测量向量Φ（Φ∈Rm*n）上，则可以得到关于x的m个线性方程，即：

sx=Φ （2）

其中m<

syyφψ

参考文献：

[1] DONOHO D. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）： 1289-1306.

[2] CANDES E. Compressive sampling[A]. Proceedings of the International Congress of Mathematicians[C]. Madrid，Panin，2006.33-1452.

[3] 石光明，刘丹华，高大化等，压缩感知理论及其研究进展[J]. 电子学报，2009，37（5）：1070-1081

[4] E. Cand`es and J. Romberg，Sparsity and incoherence in compressive sampling [J]. Inverse Problems，2007： 969–985

[5] CANDES E，ROMBERG J，TAO T，Robust uncertainty principles： Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：489-509.

[6] FIGUEIREDO M A T，NOWAK R D，WRIGHT S J. Gradient projection for sparse reconstruction： Application to compressed sensing and other inverse problem[J]. Journal of Selected Topics in Signal Processing：Special Issue on Convex Optimization Methods for Signal Processing，2007，1（4）： 586-598.

[7] TROPP J，GILBERT A C. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2007，53（12）： 4655-4666.