基于改进方向波变换的泡沫图像增强新方法

李建奇 ，阳春华，朱红求，曹斌芳，刘金平

(1. 中南大学 信息科学与工程学院，湖南 长沙，410083；2. 湖南文理学院 电气与信息工程学院，湖南 常德，415000)

浮选槽内气泡与矿浆背景灰度反差小，气泡之间相互堆积、挤压，气泡与气泡间边界不明显，同时存在大量的噪声干扰，这些问题使得泡沫图像的分割、纹理特征提取和精矿品位分析存在很大的困难，导致浮选过程不能处于最优运行状态，造成矿产资源的浪费[1-4]，因此，研究适应性强的混合黏连泡沫图像增强方法具有非常重要的作用。目前，图像增强方法分为时域处理和频域处理2大类。常用的时域处理法有直方图均衡化和反锐化掩模法[5-7]等，但对于低对比度的泡沫图像，该类算法存在易使噪声增大而图像细节增强不足的现象。频域处理方法主要有基于傅里叶变换的方法和基于小波变换的方法[8-9]等。傅里叶变换用信号的频谱特性可解决许多时域内难以解决的问题，但该变换不具有时频局部化的能力，容易造成图像细节信息丢失。而小波变换很好地解决这个问题，在增强图像细节的同时有效抑制图像噪声[10]。然而，由一维小波直接生成的二维可分离小波，其基函数是各向同性的，只能检测点的奇异性, 不能有效检测线的奇异,且只具有有限的方向，不能很好地捕获二维图像中的线和面奇异，使得图像细节信息的增强明显不足。Lu等[11-12]将方向波变换(DT)作为一种真正的图像二维表示方法，不仅具有小波变换的多分辨率时频分析特征, 还具有高度的多方向性和各向异性尺度关系。利用该方法对对比度变化不大，纹理复杂的泡沫图像进行增强时能使图像边缘明显增强，纹理更加清晰。但经过分析可知，在采用方向波直接进行浮选泡沫图像增强时存在以下问题：一是由于变换过程中引入下采样, 导致该变换不具备平移不变性, 信号方向频谱会产生一定的混叠, 这样不可避免地会引起伪吉布斯现象，使重建的图像在边缘附近易产生振荡，造成轮廓、边缘模糊或失真；二是该变换没有考虑到工业现场浮选泡沫图像存在严重光照不均和对比度低的情况。基于以上分析，本文作者提出一种基于改进方向波变换和多尺度 Retinex算法的浮选泡沫图像增强方法。用改进方向波变换对浮选泡沫图像进行分解，保证信号产生平移不变性，避免图像边缘模糊。为解决低频子带系数相差甚小、受工业光照影响严重的问题，引入多尺度 Retinex算法实现增强效果，以改善其亮度均匀性[9,13-14]，有效地显示淹没在阴影区域中的细节。针对高频子带主要由细节信息和噪声组成，提出一种双结构元素多尺度形态滤波方法进行处理。最后，分析该方法的增强效果和对图像形态特征提取的作用。

1 改进方向波变换

1.1 方向波变换

方向波变换是一种全新的图像表示工具，它包含滤波采样和各向异性小波分解2个部分，分别表示沿向量d1与d2方向进行n1次与n2次滤波和采样的处理过程[11]。其基函数表示为多方向的斜各向异性小波变换(SAWT)即方向波变换，其基函数为

其中：a1，a2，b1和 b2为整数。沿着斜率为 r2=b2/a2的向量 d2称队列方向(图 1为-45°)，沿着斜率为r1=b1/a1的向量d1称为变换方向(图1为45°)。方向波变换通过对图像进行采样得到||ΛM个陪集。各陪集通过沿变换方向和队列方向上各向异性小波变换fAWT(n1,n2)得到图像的稀疏表示。图1显示了fAWT(2,1)分解时对应的采样栅格，采样格由采样矩阵ΛM决定，

图1中：s0和s1为移动向量。

图1 fAWT(2,1)变换的采样格示意图(45°(a)和-45°(b)方向分解)Fig.1 Schematic diagram of fAWT(2,1) transform based on sampling lattice

小波变换是各向同性的，滤波器和下采样操作是等同地应用在不同尺度的各个方向(垂直和水平方向)，即 n1=n2，而方向波变换是各向异性的，它能在不连续处(边界、轮廓等)提供非常紧凑的表达，其变换和队列方向的滤波和下采样次数并不相等，即n1并不一定等于n2，如图2 (a)所示。在图像边界和轮廓等不连续处，小波变换需要较多的小波基表示，小波的各向同性基函数在不连续处产生大量系数，如图2(b)所示；而方向波变换的各向异性基函数在不连续处产生的系数非常稀疏，能够准确地描述图像信息，如图2(c)所示。因此，方向波变换能够更加有效地表示图像中的轮廓和边缘，非常适合于分析工业现场采集的浮选泡沫图像。

图2 DT示意图Fig.2 Schematic diagrams of DT

1.2 改进方向波变换的实现

方向波变换是在离散域完成对信号的处理，存在采样操作。根据信号的采样定理可知：采样操作使得小波变换不具备平移不变性，在信号的奇异点周围会引入伪吉布斯现象。本文借鉴平稳小波变换的思想提出一种去掉采样操作的 DT方法，即非下采样DT(NSDT)。该方法由非下采样多级分解和非下采样多方向滤波器组成，具有平移不变性，能够保留更多的图像相关信息。

在方向波变换中，沿着水平方向和垂直方向上的变换次数是不相等的，即n1并不需要等于n2。方向波变换与标准小波变换一样，在低通滤波中反复进行这种操作。以 fAWT(2,1)为例说明此种分解方法，如图 3所示。

图3 fAWT(2,1) 分解结构Fig.3 Decomposition of fAWT(2,1)

本文作者将“平稳小波变换对低通和高通滤波器的输出系数不进行采样(下采样)操作”的思路引入到方向波变换中，使小波系数、尺度变换系数与原始信号等长，保持分解的各向异性的特征，从而得到和原始泡沫图像大小一样的频域图像。由此，产生的冗余性使得系数之间有比较好的相关性，可以达到完全重构。非下采样各向异性小波变换的分解如图4所示。

图4 非下采样方向波变换分解结构Fig.4 Decomposition of fAWT(2,1) nonsubsampled directionlet transform

通过平稳小波和各向异性小波分解方式的结合，得到的NSDT既可以保持对于浮选泡沫图像分解的各向异性特点，充分有效地捕捉泡沫图像的复杂特征，又可以兼顾具有冗余性和平移不变性的特点，能够在一定程度上减少用方向波变换时的吉布斯现象，使得泡沫图像的边缘提取更加准确。

2 浮选泡沫图像增强方法

基于改进方向波变换的增强算法是将图像分解为不同尺度上的子带图像，通过改变子带的小波系数来完成图像的增强。由于改进方向波变换不存在信号的下采样，从而可有效地避免造成重构信号的边缘混叠现象。在泡沫图像方向波变换后，泡沫图像的噪声和细节信息主要集中在高频系数中，而图像的轮廓主要集中在低频部分。

2.1 低频子带图像的增强

在工业现场，浮选泡沫图像采集平台主要由高分辨率工业摄像机、高频光源等组成。浮选槽内矿浆温度高，为防工业摄像机镜片结雾，工业摄像机的安装要满足一定高度。浮选现场灰尘多，光照不均，气泡与矿浆背景灰度反差小，使得泡沫图像的亮度分布不均，严重影响后续图像的分割和识别。分析工业现场获取的泡沫图像的灰度直方图，发现其形态比较单一，且多为单峰，像素灰度分布比较集中，95%在灰度150～200处。针对以上问题，引入 Retinex 边缘增强方法，以改善图像的亮度均匀性，提高图像质量。

Land 提出将Retinex作为人眼感知亮度和色度的视觉模型，其实质是将一幅图像用环境亮度函数(亮度图像)和物体反射函数(反射图像)的乘积表示[13-14]，然后，通过改变反射图像和亮度图像在原图像中的比例来达到增强图像的目的。泡沫图像是光照图像和背景图像综合作用的结果。环境亮度函数描述背景图像强度，而物体反射函数则体现物体的目标特征，将Retinex算法应用于浮选现场泡沫图像的增强即可抛开物体的背景强度仅反映目标自身特性的信息。

单尺度Retinex算法公式如下所示：

其中：I(x, y)表示输入图像；*表示卷积运算；R(x, y)表示经Retinex算法处理后的输出图像；G(x, y)为环境函数，通常采用高斯函数的形式，表示为

其中：ε可由 ∫ G ( x ， y ) dxdy=1确定。ε较小时，算法的动态压缩能力强；ε较大时，图像的色感一致性较好。为在动态范围压缩和色感一致性之间取得较好的平衡，采用多尺度 Retinex算法。该算法可描述为

其中：K为尺度数；wi为对应于第i个尺度εk的权值，般情况下，多尺度Retinex算法取中、高、低3个尺度，即K=3，w1=w2=w3=1/3。

该增强算法通过原始图像与高斯函数的卷积获得最优亮度估计，从而改善图像的亮度均匀性。图像的能量信息主要在低频，通过 Retinex算法可以很好地完成低频子带图像的增强，改善图像的整体视觉效果。

2.2 高频子带的多尺度双结构元素边缘检测

方向波变换将大多数能量集中在低频子带中，而高频子带中主要由细节信息和噪声组成。针对工业浮选现场，环境恶劣、易受噪声影响，引入形态学边缘检测来去除图像噪声。

数学形态学是由一组形态学的代数运算组成的,它的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开运算和闭运算。噪声通常表现为信号上叠加的一些具有一定幅度的尖“峰”和低“谷”, 形态开可以削去“峰”，形态闭可以填平“谷”，两者都具有滤波去噪功能[15]。结构元素的选择是形态滤波的另一个关键，结构元素携带的大小、形状和灰度信息, 将直接影响形态滤波器的滤波效果。一般所选结构元素形状应尽可能接近待分析信号的特点[16]。

选用一种改进形态学梯度算子，采用双结构不同尺度的2个结构元素来对图像进行交替顺序形态开闭滤波，以平滑图像去除噪声。在选择结构元形状上，考虑到浮选泡沫为椭圆形或圆形结构，所以，大结构元素选择圆盘形结构元尺度。

基于双结构元素多尺度形态学边缘检测算子可表示为

其中：A和B分别为尺度不同的圆盘形5×5结构元素和十字型3×3结构元素。对于尺度小的结构元素B，有很好的细节保持能力，但很难消除图像中的噪声点。而对于尺度大的结构元素 A，去除噪声功能较强，有利于确定原图像中物体的整体轮廓，但存在一些较小的细节信息会被当作噪声去除。所以，采用多尺度的双结构元素方法既能有效地消除噪声，又能有效地保持好边缘信息。

2.3 算法描述

具体算法描述如下：

(1) 精选泡沫图像进行L层NSDT变换，具体分解层数L根据图像而定，得到分解后的低频子带系数和高频方向的子带系数。

(2) 低频图像边缘检测。分析其系数模型，可知低频子带系数值相差甚小，受工业光线影响严重，引入多尺度Retinex算法实现增强效果。对第L层的低频子带图像进行多尺度 Retinex增强，试验中尺度分别取15，80和250，权重均为1/3。

(3) 高频图像边缘检测。对于分解后的高频系数，采用基于多尺度的双结构元素的数学形态学方法，利用式(5)形态算子对其边缘子图像进行边缘检测。

(4) 利用上述处理后的系数进行图像重构。

(5) 对图像进行平滑处理，消除边缘虚假信息。

3 算法的仿真分析

图5所示为从工业现场选取的3幅具有代表性的原始泡沫图像，3幅图像均具有亮度不均匀，背景偏暗，受噪声影响等特点，并且效果依次变差。

综合考虑计算的复杂度和实验所用的浮选泡沫图像的实际情况，各项异性小波基选用fAWT(2,1)，由提升小波CDF9-7小波滤波器构造，DT的分解基数为5级，每级分解的方向数均为 4，分别为 0°，45°，90°和-45°方向，对应的生成矩阵分别为：

对图5泡沫图像按上述参数设置进行改进方向波变换，获得低频子带和各带通方向子带系数。针对低频部分进行多尺度 Retinex增强，试验中尺度分别取15，80和250，权重均为1/3。高频分量部分采用式(5)进行多尺度形态学滤波，获得重构图像。并与直方图均衡化，方向波变换法和多尺度Retinex法进行比较，仿真结果如图6所示。

从图6所示的图像增强结果的对比可以看出：直方图均衡化在在增强泡沫图像对比度的同时，显著的放大噪声；方向波变换法较好地抑制噪声，但没有达到增强视觉效果的目的；多尺度 Retinex算法明显的增强泡沫图像的对比度，改善其亮度均匀性，但是不能消除浮选泡沫图像中存在的噪声；本文提出的方法能够较好地增强图像的细节并抑制噪声，较好地改善图像的整体增强效果。

图5 原始泡沫图像Fig.5 Original froth images

图6 针对图5的3幅原始泡沫图像采用不同方法得到的增强效果图Fig.6 Enhancement effect image using different methods of original froth image

为更好地说明本文方法的效果，对上述处理后的3幅图像采用文献[17]的谷底边缘分割方法进行图像分割，仿真结果如图7所示。

从图7可见：由于原图中存在附着在大气泡周围的小泡，泡沫连接处对比度低，边界模糊，易受噪声影响，而谷底边缘分割算法不能很好地处理这类问题，造成欠分割现象严重。本文提出的方法能较好地去除泡沫图像中的噪声，增强图像的整体对比度和亮度，有效的消除边界处的欠分割问题，提取的泡沫形态特征能有效反映浮选工况。

为定量地评价图像增强的效果，选用图像的对比度和信噪比(SNR)对增强效果进行客观评价[9]。图像对比度的测量函数定义为

其中：),(nmφ为局部对比度，定义为：

其中：maxA 和minA 分别为增强后低频子带图像的像素点。图像对比度越高，图像的局部对比度改善程度越明显。信噪比在一定程度上反映增强方法抑制噪声的能力。信噪比越高，噪声抑制力越强。

表1给出的3幅图像采用不同方法的定量评价指标，可见直方图均衡法在增强图像对比度的同时放大噪声效果，多尺度 Retinex法也存在上述问题，与本文方法相比能很好地平衡对比度和噪声消除问题；方向波变换方法虽然抑制噪声，提高信噪比，但对比度比本文方法的低。

表1 泡沫图像边缘增强的各项定量评价Table 1 Quantitative evaluation of froth image enhancement

4 结论

(1) 本文提出的增强方法克服了以往泡沫增强算法受光照影响严重的缺点，具有鲁棒性好、边缘增强明显等优点。利用改进方向波变换可解决吉布斯现象造成的图像边缘模糊。引入多尺度 Retinex算法可以有效的增强图像，使其免受光照影响。基于形态学思想提出双结构元素多尺度形态滤波方法，有效地消除高频噪声并保持边缘细节信息。对增强后的图像进行分割可以有效地解决边缘模糊和噪声所带来的图像欠分割问题。

(2) 该方法较好地实现了浮选现场泡沫图像的预处理，有助于泡沫特征的提取和矿物品位分析。

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