新课程背景下利用几何画板进行数学教学的探索与反思

2013-06-14张瀚锟

新课程学习·中 2013年3期

张瀚锟

摘要：探讨与分析了几何画板辅助高中数学探究性教学的相关问题，通过对几何画板在“柱、锥、台的体积”教学中应用的教学案例的分析和解决，具体说明了利用几何画板辅助高中数学教学、辅助学生学习等方面应用的优势及问题。以《高中数学课程标准》理念为指导，以建构主义学习理论、人本主义心理学理论、教育传播学理论作为理论基础，从课程整合的角度，紧紧围绕几何画板在高中数学教学中的应用进行了研究。

关键词：信息技术；抽象思维；形象思维；创新能力

一、问题的提出

20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。现代信息技术的发展，一方面为数学教育的普及与传播提供了得天独厚的土壤，另一方面也对数学教育的价值、目标、内容以及教与学的方式产生了重大的影响。目前，各级各类学校都在进行信息技术和数学课程整合的探索，如浙江的《信息技术和数学教学整合的教学模式研究》、江苏常州的《信息技术与数学科课程整合》、广东的《信息技术与高中数学（新教材）教学整合实验研究》、北师大林君芬、余胜泉开展的《信息技术与数学教学整合的教学模式研究》等，都体现了人们对现代信息技术在数学教学中应用的重视。而从国外引进的教育软件“几何画板”以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图像功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作高中数学课件的主要创作平台之一。它为现代信息技术在数学教学中的应用提供了具体方案，实现信息技术在数学科学中的最佳效果，有利于培养学生的认知能力与创新能力。

二、利用几何画板开展数学教学理论依据

培养创新能力，首先要具备创造性思维。“创造性思维是创造过程中的思维活动，是抽象思维和形象思维两种思维新颖灵活的有机结合。”而数学学科主要是抽象思维和形象思维，它在培养和提高思维能力发挥着特有的功效；而从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中起着重要的作用。传统的数学教育重视抽象的逻辑推理演算，却忽视了灵活发散的形象思维，从而导致我国中小学生的数学文化精神严重“缺钙”。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人不会有很高的抽象思维能力。古代希腊数学家说：“从作图的直观上发现了数学的非演绎的无理的元素，这些元素使得作图的直观可与音乐和艺术相媲美。”前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫也曾指出：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”这正是数学形象思维重要性的一个缩影。因此，发展形象思维是培养学生认知能力、发展创新能力的一个必要的突

破口。

三、几何画板在高中数学重要模块教学中的运用

1.几何画板在代数教学中的应用

“函数”是中学数学中最基本、最重要的内容。近几年，在函数的教学与解题中特别强调了数与形的结合。几何画板快速直观精确的显示及变化的功能在解决数形结合的问题上得到了体现，大大提高了课堂效率，进而起到了事倍功半的效果。

具体说来，可以用几何画板根据函数的解析式快速作出函数的图像，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图像。如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=■的图像，比较各

图像的形状和位置，归纳幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图像，当参数变化时函数图像也相应地变化。如在讲函数y=Asin（ωx+φ）的图像时，传统教学只能将A、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图像之间的关系；利用几何画板则可以不断地分别改变A、ω、φ来观察每一个量对函数图形的影响，而且又可以同时改变A、ω、φ来观察函数图形的整体变化（如图1）。这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。

■

图1

几何画板在高中代数的其他方面也有很多用途。例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不等式“■≤■”等；再如，讲解数列的极限的概念时，作出数列的图形（即作出一个由离散点组成的函数图像），观察曲线的变化趋势，并利用几何画板的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。

2.几何画板在立体几何教学中的应用

立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质，它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各个面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真正的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用几何画板将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系表示出来，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。

例如：二面角的平面角的概念，是“二面角”这节内容的重点和难点。解决这一难点的关键是，让学生在理解这一概念的本质属性的基础上，自然地形成二面角的平面角的概念。为此，我们可以采用几何画板设计如图2所示的二面角。α-L-β，使得射线OA，OB能分别在半平面α，β内绕棱上一点O自由旋转，两个半平面α，β绕L自由转动，当二面角α-L-β确定之后，通过OA，OB分别在α，β缓缓转动，启发学生发现，必须使OA，OB与L成定角。从而进一步提出：这个定角多大时，才能合理地、科学地用∠AOB的大小来描述二面角的两个半平面的张合程度呢？此时演示动画，使得OA，OB都与L垂直时停顿闪烁，就不难发现，这个定角为90°时就比较合理、科学（如图3）。这样二面角的平面角这一概念的属性（过棱L上一点O；OA，OB分别在半平面α，β；OA⊥L，OB⊥L）得到了充分的显示，概念的形成水到渠成。

■

3.几何画板在平面解析几何教学中的应用

平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，几何画板又以其极强的运算功能和图形图像功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。

具体地说，在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹”入手（如图4）。

■

图4

先让学生猜测P点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图4，学生豁然开朗：“原来是椭圆”。这时老师还可以改变PF1+PF2的值，使得PF1+PF2=F1F2，满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，甚至还可以得到PF1+PF2

以上是教学中的典型实例，在这几个例子中充分运用几何画板的动画、移动、平移、旋转、标识向量等高级功能，从中我们看到几何画板对高中数学教学是十分有利的。只要我们发挥自己的创造性，潜心研究，就能不断地加深对几何画板的理解和应用，不断开发出适用于教学的优秀课件。

四、高中数学函数教学设计案例及案例分析

基于以上对几何画板在数学教学中的运用的具体分析，下面笔者以“北师大版高中数学必修2第七节《简单几何体的面积和体积》”为例进行较为详细的教学设计。

课题：柱、锥、台的体积

一、教学设计思想

（一）背景

北师大版高中数学必修2第七节《简单几何体的面积和体

积》，是在学生掌握了前几节的内容，具有一定的空间想象能力的基础上，要求学生学会一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。关于柱、锥、台、球的体积公式，课程标准要求我们只给出公式，要求学生理解公式中的各个量词表示的意义，会套用公式进行计算，而不要求对公式进行证明。但与过去不同的是我们希望学生在运用过程中自然掌握这些公式，目的是想培养学生的空间想象能力和分析、解决实际问题的能力。运用几何画板辅助教学，使立体图形直观化，可以帮助学生自然掌握公式，这就是笔者选择本课题的实际背景。

（二）目标

（1）知识与能力：自然掌握柱、锥、台、球的面积和体积计算公式，培养学生的空间想象能力；灵活运用“割、补、转”的方法，提高分析、解决实际问题的能力。

（2）过程与方法：渗透把有关立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想和类比的思想方法。

（3）情感态度与价值观：使信息技术与课程进行有效的整合，提高学习效率，并使得抽象问题形象化，培养学生学习立体几何的兴趣。

（三）教学重点与难点

（1）教学重点：

柱、锥、台的体积。

（2）教学难点：

组合体体积的计算。

（四）说明

柱、锥、台的体积在《立体几何初步》中是重点内容，其在传承数学几何思想上具有独到的作用。本课题的拓展性强，运用多媒体技术，使对图形割补变换以动态形式呈现，速度快，立体感强，整合效果好，具有不可替代的作用。

二、教学实施过程