空间解析几何教学中培养学生的多元思维

黄斌　虞海潮　吴新全

【摘要】主要论述了在《空间解析几何》课程教学中，如何培养学生的多元思维的能力。通过对教材的分析和整合以及利用CAI辅助教学，帮助学生理解多元思维，并且能够学会利用多元思维来解决专业课程中的问题。

【关键词】多元思维 惯性思维 空间解析几何 CAI技术

空间解析几何课程是数学专业的专业基础课程，其主要研究的是向量，直角、仿射坐标，空间平面、直线，坐标变换和二次曲面等，解决问题的方法不同于传统的平面和立体几何，它的特点是利用代数的方法解决几何问题。对学生而言，这是种全新的方法。空间图形既复杂又抽象，却又需要得到正确的结果，因此需要学生具备丰富的想象力。空间解析几何课程既是对初等几何的延续，又是为以后学习微分几何等数学专业课程打下基础。

多元思维也称立体思维，空间思维等，其重要特征就是对同一个问题进行多方位，多角度的思考方式。运用多元思维，能够摆脱传统惯性思维的约束，丰富学生的想象力，而具有丰富的想象力是学生学好空间解析几何的前提。

在实际空间解析几何教学过程中，通过对教学过程以及学生学习的效果进行分析，针对性的在以下几个方面做出了总结。

1 结合惯性思维，引入多元思维

传统惯性思维是学生经常表现出来的一种正常的思维方式。在初等教育中，惯性思维有利于学生在一定范围内针对几何问题能够快速找到解题方法，问题能够比较直观解决，它是培养多元思维的基础。惯性思维本身具有一定的局限性，而在空间解析几何里，需要学生具有多元思维能力才能够去解决问题。典型的便是种树问题：地上种四棵树，要求每棵树距离两两相等。在普通惯性思维方式下，学生会在纸上画上正方形，菱形等等，但无法解决问题。很明显，问题出在思维方式上，惯性思维约束了学生的大脑，因此学生总是在平面上考虑这个问题。在多元思维方式下，学生会选择另外的处理方式，将一颗树种在山上，在三维空间中来考虑，问题迎刃而解。因此，在空间解析几何课程的教学初期，面临的主要问题是如何来引导学生由习惯于传统惯性思维过渡到能够接受多元思维，这需要一个过程，启发式的教学可以让学生慢慢接受这一思维方式。通过对教材中的具有三维空间的概念如标架、卦限的讲解，让学生学会从平面走向立体，突出对空间的认识，将需要研究的问题放到三维空间中去讨论，并能够接受在三维空间中来分析问题。进一步可以将直角标架下的问题再转化到球坐标和柱坐标下，利用学生接受新事物的能力很强的特点，使得学生不但能够跳出惯性思维的拘束，很快接受多元思维，并且随着教材讲解的不断深入，学生能够尝试利用多元思维来解决问题。

2 整合教学内容。运用多元思维

计算结果的相对抽象是空间解析几何的一个特点，虽然通过代数计算的方法得到了正确的结果，但学生对得到的结果往往缺乏有效的理解，对结果所表达的含义缺乏有效的认识，对所采用的解题方法也很难真正把握。因此，仅仅学会用多元思维解决问题还不够，还需要对计算得到的结果进行多元化思维，将计算结果直观化，加强感性认识。因为学生对新事物，尤其是对具体直观的事物的接受能力很强，因此，在教学上可以尝试将抽象结果具体化，直观化，将多元思维考虑的问题在现实中找出类似的具体模型。同时，将教材中内容联系相对密切、共性突出的部分加以整合编排，让学生在学习的过程中循序渐进。例如两个向量乘法中，数量积大小是个数，可以用一维数轴上的一个点表示；向量积大小是个数，可以用二维平面上的某个平行四边的面积来表示，混合积大小是数，可以用三维空间内的某个六面体的体积来表示。这部分内容穿插在一起进行教学，配合图形的展示，抽象的结果被直观化为图形，数形结合，逐步引导学生的思维方式由一维、二维变化到三维，在学习的过程中接受并学会运用多元思维来分析问题。

3 丰富教学方式，巩固多元思维

在现在的大学教学过程中，运用CAI技术辅助教学已经很普及，这对提高教学质量有很大帮助。CAI技术配合传统课堂教学，互补性明显，不但能提高课堂教学的信息量，还能激发学生学习的兴趣，在空间解析几何的课堂教学中尤为明显。巩固学生的多元思维的一个有效手段就是将解题的过程完整的展示出来。在讲解空间旋转曲面等复杂曲面时，手工很难完成图形的精确描绘，缺乏可视的直观图形。一味让学生去想象旋转曲面，教学效果不理想。因此，首先应考虑选择合适的教学辅助软件制作多媒体课件。课件的制作需要动画的效果配合，利用动画来逐步展示完整的旋转曲面的形成过程，学生可以随着过程的展示不断调整思维，形成正确的结果。可以选用常见的软件如Authorware和PPT结合在一起，结合教材首先展示平面上的母线和轴，再借助动画方式展现母线绕轴旋转的过程，动态形成旋转曲面。图形准确直观，学生空间想象力得到不断强化。类似随着抛物面，单叶、双叶双曲面等的形成过程的展示，学生可以利用已经具备的多元思维想象力，对空间内较为复杂的图形展开进一步的想象，循序渐进。进行数学实验也是巩固多元思维的一个有效手段，配备一定课时的数学实验，让学生自己动手撰写程序，进行调试。如Matlab、Mathematica等都是功能强大的数学软件，在讲解柱面、球面等相贯线的问题时，结合课堂教学内容再穿插一定数量的数学实验课程，学生通过编写程序来具体描绘各种相贯线的产生过程，同时还可以多角度的观察和验证，实现思维多元化，提高了教学的质量。

多元思维不仅仅在空间解析几何课程教学中作用明显，它还可以贯穿到其他的各门数学课程中。充分利用空间解析几何是专业基础课程这个重要环节，通过课程讲解来培养和提高学生的多元思维能力，使得学生在后续专业课程的学习中，能够学以致用，利用多元思维工具解决各种专业问题。