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一类非线性椭圆型方程边值问题的可解性

2013-06-06赵舵舵钟金标

池州学院学报 2013年6期
关键词:解性池州边值问题

赵舵舵,钟金标,周 恺,张 永

(1.池州学院 数学与计算机科学系,安徽 池州247000;2.安庆师范学院 数学与计算科学学院,安徽 安庆246133)

一类非线性椭圆型方程边值问题的可解性

赵舵舵1,钟金标2,周 恺1,张 永1

(1.池州学院 数学与计算机科学系,安徽 池州247000;2.安庆师范学院 数学与计算科学学院,安徽 安庆246133)

文章利用变分法、山路引理对一类非线性型椭圆方程的解做了研究,将Di r i chl et边值问题的有关结论推广到Neumann边值问题上,得到了一个至少有两个不同的非平凡解的存在条件。

正解;山路引理;PS条件;极小作用原理;Neumann边值问题

最近几年来,非线性椭圆方程的Dirichlet边值问题在生物学、生态学等领域得到广泛的应用,因而引起了许多数学工作者对这类问题研究的极大兴趣,将 Dirichlet边值问题的有关结论推广到Neumann边值问题,主要考虑下面的Neumann边值问题:

这里Ω是RN中的有界光滑区域,Ω具C1,1-有正则性,ν=(ν1,ν1,…,νn)是Ω的外法向单位向量。f(x,u),g(x,u)满足:

(H1):存在0<r≤1,使得对任意的正数M,有:f(x,u)

(H2):当N≤2时存在p,q,当N≥3时存在正数p<

(H5):存在常数μ>2及r>0,使得

1 预备知识

引理 1[1]:在 H2~H5条件下,非线性椭圆方程Neumann问题在W1,2(Ω)中存在正解u,即存在u>0,且满足:

的解,即可以转化为泛函问题的临界点:

引理2[2]:在H2,H3条件下,若{un}是E=W1,2(Ω)中的有界序列,且满足条件:当在中时,在E*中,n=1,2,3…则{un}是E中的准紧集.

引理3[2]:在(H2),(H3),(H5)条件下,满足条件在E*中,当的每一序列{un}在E中均为列紧集,即泛函I(u)满足P-S条件.

引理4[2]:设I∈C1(E,R),如果I有下界,且满足P-S条件,则是I的一个临界值.

2 主要结论

定理 1:若满足条件 H1,H3,H4,则存在正数 λ0,使得Laplace算子的非线性特征问题:

至少有两个不同的非平凡解。

证明:第一步:由极值原理知识得到一个解

由条件H4及的连续性知,存在a>0,使得

根据题意可知:

对于任意取定的λ,设{um}E且{I(um)}有界,即存在正数M,使得|I(um)|≤M,m=1,2,3…

即{um}在E中有界,因此根据引理3知,泛函I(u)满足P-S条件,再由(3)式有:

即泛函I(u)在E中有下界,因此根据引理4知I(u)有临界点uλ,使得上式表明,uλ是算子非线性特征值问题在W1,20(Ω)中的弱解。

下面来验证uλ不是平凡解,任意取函数,使得,则由条件(H4)知

由嵌入定理和条件(H3)可以知道,存在C1>0,C2>0,C3>0,C4>0,使得:

又由条件(H2),(H3)可知,对任意的ε>0,存在A1(ε)>0, A2(ε)>0使得:

所以由(2)式可知:

第二步:由山路引理[2]求出另一个解

当||u||=ρ时

任意取k=min(p,q),ρ<1,由(H2),(H3)可知p>1,q>1,则当||u||≤ρ时,

(Ⅱ):由第一步知道uλ满足下面这两个式子:

(Ⅲ)由引理2,引理3可知,泛函I(u)满足P-S条件.

通过(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的证明,山路引理的条件全部满足,并记,则C≥β且C是I(u)的临界值,于是问题(1)的正解是存在的.

由第一步和第二步可以知道问题(1)在满足H1, H3,H4,条件下有两个非平凡的解.

定理2:若条件(H6)成立,则问题(1)最多只有一个解。

证明:设u1,u2为问题(1)的两个解,则

可以得到:

根据条件得到,证毕。

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[责任编辑:桂传友]

0175

A

1674-1104(2013)06-0037-03

2013-09-21

池州学院研究生引进启动项目(2011RC037);池州学院自然科学重点研究项目 (2013ZRZ002)。

赵舵舵(1983-),男,安徽安庆人,池州学院数学与计算机科学系教师,硕士,研究方向为偏微分方程。

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