体上一类反三角分块矩阵群逆的注记

李斌，卜长江

(哈尔滨工程大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

1 引理

证明 由A的分解形式，设

则

由AX=XA可得X3=X4=O，且ΔX1=X1Δ.

所证成立.

引理3 设A、X分别有引理1、引理2中的分解形式，且rank(A)=rank(AX)，那么:1)X1可逆;2)令 F=XAA#，则 F#存在，且满足 XA2F#=A2，F#A A#=F#.

证明 由A、X的分解形式，可得:

rank(AX)=rank(A)=rank(Δ)=r，因此有

r=rank(Δ)=rank(ΔX1)≤ rank(X1)≤r，所以X1可逆.

引理 4 如果 rank(A)=rank(AX)，那么rank(A2)=rank(A2X).

证明 由已知得 R(A)=R(AX)，那么AR(A)=AR(AX)，即 R(A2)=R(A2X)，因此rank(A2)=rank(A2X).

2 定理

1)M#存在的充分必要条件是 rank(B)=rank(BS);

证明:

所以M#存在⇔rank(M)=rank(M2)⇔rank(B)=rank(BS);

2)因为 rank(B)=rank(BS)，R(BS)⊂R(B)，所以R(BS)=R(B)，那么

故rank(S2)=rank(S)，即S#存在.

下面求导M#.由A、X的分解形式，可得

那么由引理3得

结合式(1)～(3)得

因此所证成立.

3 实例

那么利用定理1的公式计算得

4 结束语

当X满足定理1中条件时，显然X不一定可逆，甚至X的群逆也不一定存在，但由文中定理可以知道此时M#仍然是可能存在的，而在原有的定理中，要求X可逆，因此本文定理大大地拓展了M#存在的条件，并且在新条件下给出了M#的表达形式.

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