刍议平面解析几何的产生及背后的思想

高崇智

一、数学史与高中数学教学

数学史是一门交叉学科，它研究的领域是数学与史学相重叠的那个部分。数学这一学科是如此的古老而富有活力，致使对其历史的研究也成为了学者们努力探求的一个公认的学术领域，使学习数学的学生们去了解这一学科的历史是很自然的事情，数学史可以看成数学的重要组成部分。学习数学史的目的，一是了解和熟悉数学发展的历史事实；二是在数学历史发展的过程中，探索前人的数学思想。探索前人的数学思想，可以对现在的数学教育工作起到指导性的作用。我国的教育行政管理部门对于数学史的教育是十分重视的，数学史已成为中学数学教材中的重要组成部分，以习题、注释等多种形式出现在教材中。把数学史融入日常的教学中，不仅有助于学生加深对数学概念、方法、思想、作用的理解与掌握，是利教、利学的好方法，高中数学教师应善于运用。平面解析几何是高中数学的重要模块，在高中数学中的位置举足轻重，是高考重点考查的内容之一，所以，了解解析几何的创立过程，同时揭示平面解析几何背后蕴含的思想，就显得十分必要了。

二、解析几何的创立

1.解析几何创立的背景

几何学的发展经历了漫长的历史，最早的开端可以追溯到古埃及、古印度及古巴比伦，时间大约在公元前3000年，直到公元前3世纪，希腊大数学家欧几里得把古埃及和古希腊人的几何学知识加以系统地整理和总结，用公理化的方法建立起了一个严密的逻辑体系，这标志着几何学成为一个独立的分支。在解析几何建立之前，代数和几何是两个独立的分支，代数学可以用来对抽象的未知量进行推测，几何学可帮助人们认识真实世界的知识和真理。然而，欧式几何过多地依赖于图形，抽象程度高，代数又过多地受到法则和公式的约束，缺乏直观。两者的局限性限制了数学的发展，如何能够取两者的精华，把代数学和几何学有机地进行结合，去认识真实世界的知识与真理？一门新的学科便呼之欲出了，这样的背景之下，两个法国人笛卡尔和费马站在了时代的前列。

2.笛卡尔与费马的解析几何

笛卡尔有一个近乎疯狂的想法——把一切问题变为数学问题，再把一切数学问题变为代数问题进行解决，这个想法促使笛卡尔最终建立了解析几何。笛卡尔认为希腊人留给后人的几何方法过于抽象和特殊，欧式几何的每一个证明，都需要一个新的特殊方法才能够解决，这是“笨拙和不必要的”，笛卡尔透彻地看到代数方法的力量，出于一种对方法论的强烈兴趣，笛卡尔着手把代数应用于几何中。他引入了“坐标”的概念，利用“坐标法”，提出方程表示曲线的思想，最终以“坐标”这一媒介，实现了几何问题的代数化。通常把笛卡尔作为解析几何的创立者，因为他不仅使用了使人容易理解的记忆方法，以及远比他人优越的技巧，而且他还把不同次数的几条曲线同时表示在了同一个坐标系内，使得解析几何所研究的空间形式大大地扩展了，笛卡尔的工作证明了这样一个事实：几何问题不仅可以归结为代数形式，而且还可以利用代数语言通过代数变换去发现几何性质。而费马也是解析几何的创立者，那么费马与笛卡尔两者有什么不同呢？费马与笛卡尔研究的角度和方法不同，各有侧重。笛卡尔的研究角度是由轨迹出发去探究它的方程；而费马则是由方程出发去探求它的轨

迹，前者由几何到代数，后者由代数到几何，一正一反，正好是解析几何的两个方面，所以，费马与笛卡尔同享解析几何创立者这一殊荣。但是从历史的发展来看的话，笛卡尔的工作更加具有突破性。

三、平面解析几何背后的思想

1.化归思想

化归思想是一种重要的数学思维模式，在数学中几乎无处不在。化归实际上是一种用来转化问题的策略，将一个难度较大的问题，通过某种途径，转化为相对简单的问题，并通过已有的经验和知识进行解决，简单化、直观化和熟悉化是化归的基本原则，其关键是要实现问题的模式化、规范化；将未知化为已知、化难为易、化抽象为具体、化一般为特殊等是化归的方向。化归思想是解析几何的最基本思想，这点毋庸置疑，解析几何的产生，实际上就来自于化归思想，即把几何问题化归为代数问题进行解决。

2.方程思想

利用平面直角坐标系，可以建立起一系列的对应关系，比如平面的点与有序数对的对应。这样一来，几何图形便能够看成一些点的集合，于是，这些点的坐标便会满足某些关系或者条件，这些关系或条件一般可以表示为等式，也就是方程；然后用代数的运算去求解所得到的方程，最后，再将所得到的代数结论“翻译”为几何结论，以上便是方程思想的基本体现。方程思想在平面解析几何的应用，最明显的例子，便是在求解曲线方程时常用的“待定系数法”了。而事实上，无论点、直线、曲线，都可以用方程的形式表示出来，也就是所谓的轨迹方程，而方程的表现形式也是多样的，例如，直线方程就有参数方程、两点式方程、一般方程等等。这样当研究空间中点、直线或者曲线之间的关系时，便可根据具体情况而去选择不同形式的直线方程，能够帮助我们大大的简化计算，而且有时对于不同形式的直线方程存在着不同的几何意义。

3.向量思想

向量源出于物理当中的矢量，自从向量被引入到数学当中，

一些代数运算被向量运算极大地化简。向量法的基本思想是根据问题的特征引进向量，利用向量的性质及其运算规律实现几何的证明。我们都知道平面解析几何的基本思想是用代数的方法去研究解决平面几何问题，为了能够把几何问题从对于形的研究转化为能够定量去计算的层面，我们就需要把几何结构代数化。正因为如此，我们引入了向量及向量的坐标运算，可以说它们是将几何结构代数化的基础。而且向量与坐标也贯穿了整个解析几何的学习，同时也为后继课程的学习奠定了重要的基础。事实上，我们可以把各种角的计算看成是两向量夹角的计算；而各种距离的计算也可以通过求解向量的模长而得以实现。用向量方法来求解一些较为复杂的平面几何问题，可以避免一些繁杂的代数与三角运算，更加方便而快捷地得到答案。可以说向量法为平面几何问题的研究提供了一种新的途径，也是在高中平面解析几何教学当中必须要掌握的思想方法之一。

4.数形结合思想

解析几何的实质就是用代数的方法来研究并解决几何问题，就是寻求方法去把空间或平面的几何结构系统进行数量化和代数化，即建立坐标系，使得有序的实数组或实数对与空间或平面的点一一对应，这样，几何问题便可以转化为代数形式。因此在研究解析几何问题时，就可用我们所熟悉的代数方法来进行研究。既然是研究几何问题，自然避免不了数与形的碰撞，所以数形结合也是极其重要的思想方法。数形结合思想是指：在研究问题时， 注意数与形的结合，即根据问题的具体情形，把问题的数量关系转化为图形性质，使复杂问题简单化，从而使问题得到正确而有效的解决。在高中的平面解析几何中，当题目中出现了“圆”或者“角平分线”时，几乎无一例外的要用到数形结合。解析几何堪称是数形结合的典范。由向量及其运算所建立的坐标系是数形相互转化的桥梁，实现了由数到形的转化。

对于高中教师而言，不仅仅在平面解析几何的教学过程中，

在高中的整个教学过程中，都应该尽可能地利用数学史激发学生的兴趣，并在教学过程中挖掘隐含在其背后的深刻思想，这样才会让学生觉得，原来，“数学”并非是印刷着成串定理及公式的“冷冰冰”的一本教材。

参考文献：

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[2]沈文选，杨清桃.数学史话览胜.哈尔滨工业大学出版社，2008.

[3]程晓亮，刘影.初等数学研究.北京大学出版社，2011.

[4]沈文选，杨清桃.数学思想方法领悟.哈尔滨工业大学出版社，2008.

[5]朱成杰.关于数学思想方法教学的几点思考.数学通讯，2004（9）.

（作者单位 黑龙江省拜泉县第一中学）