“常用逻辑用语”学习中的四个误区

王琳

摘 要：以简易逻辑学习为例，列举了学生在学习中对命题理解的四种典型错误并提出具体的解决方法和策略。

关键词：简易逻辑；命题；判断

简易逻辑是高中数学新教材增加的新内容，对培养学生的思维能力、推理能力、解决实际问题的能力都很有帮助。但是笔者在教学实践中发现学生在学习这部分内容的时候往往望文生义、生搬硬套、屡屡出错，特别是对一些似是而非的问题，若不经仔细研究便会得到错误的结论，平时教学时教师常采取回避的态度。本文例谈简易逻辑学习中的四个误区，以期学生在学习本章节时能少走弯路，提高学习效率。

例1.判断下列语句哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）小红考试100分，是个好学生；

（2）2难道不是整数吗？

错解：（1）是命题，真命题；（2）不是命题；（3）是命题，真命题。

正解：（1）不是命题；（2）是命题，真命题；（3）不是命题。

分析：命题是能够判断真假的语句。考试100分并不是判断一个学生好坏的标准，故（1）不是命题；尽管（2）的语句是以“？”结尾，但是反问句，等同于“2是整数”是可以判断真假的语句，故（2）是命题；因为（3）是祈使句，无法判断真假，故（3）不是命题。

例2.命题p：“若x2>9，则x>3或x<-3”是“或”命题吗？

错解：命题p是或命题。

正解：命题p是简单命题，不是或命题。

分析：我们不能仅从命题的结论中个有个“或”字就认定它是“或”命题。事实上，如果命题p是“p1或p2”的形式，那么命题p1、p2分别是什么呢？如果认为命题p1：“若x2>9，则x>3”，命题p2是：“若x2>9，则x<-3”，那么命题“p1或p2”就成了“若x2>9，则x>3；或者若若x2>9，则x<-3”；而这个命题（如果还能把它称为一个命题的话）和命题p已经不是一回事了；我们还可以从命题的真假上进一步说明它和命题p的区别：命题p1假，命题p2假，则命题“p1或p2”假，但命题p真；可见命题p不是“或”命题。当然，命题p更不可能是“且”命题、“非”命题。由此看来命题p应该是一个简单命题，而不是复合命题。

因此，不能认为简单命题再加上一些逻辑联结词就构成了复合命题；对于命题p1、p2，命题p1或p2为“或”命题；命题p1且p2为“且”命题；p1（p2）的否定为“非”命题。而命题“若A，则B1或B2”“若A，则B1且B2”等都是简单命题。如：命题“不等式x2-x-6<0的解集为{x|-2

例3.写出命题q：“若x2>9，则x>3”的否定。

错解：若x2>9，则x≤3。

正解：命题q的否定为：若x2>9，不一定有x>3。

分析：从形式上看，命题q的否定-q应该是：“若x2>9，则x≤3”。但是，如果研究一下命题q和-q的真假就会发现它们都是假命题；这当然是不可能的。故可以肯定我们写出的-q是错误的。仔细体会命题q，能够知道它的真实含义是：“若x2>9，则一定有x>3”，据此认为命题q假，它的否定-q应该是：“若x2>9，不一定有x>3”，这是一个真命题。当我们把命题q理解为：“若x2>9，则可能有x>3”时，它是真命题，此时它的否定-q才是：“若x2>9，不可能有x>3”，即“若x2>9，则x≤3”。

像这样的结论是“必然判断”却又省略了“必”“一定”等特征副词的命题，而恰恰因为“必然”使其为假，在写这类命题的否定时，可以先补齐特征副词，再行否定，它们的否定结论是“或然”判断。如命题：“有两个角是直角的平面四边形是矩形”，事实上“有两个角是直角的平面四边形”可能是矩形，也可能不是，因为命题作了“是”的判断，使其为假；故应该先将命题改造为：“有两个角是直角的平面四边形一定是矩形”，它的否定是：“有两个角是直角的平面四边形不一定是矩形”。但是，对于一个结论是“必然判断”的真命题，就可以直接写出它的否定，如：“有三个角是直角的平面四边形是矩形”，它的否定为“有三个角是直角的平面四边形不是矩形”；而不用先将命题改造为“有三个角是直角的平面四边形一定是矩形”，再进行否定：“有三个角是直角的平面四边形不一定是矩形”。

例4.写出命题r：“若x2<9，则必有x<3”的否命题。

错解：若x2≥9，不一定有x<3；

正解：若x2≥9，则x≥3。

分析：如果命题r的否命题是“若x2≥9，不一定有x<3”。像这种结论是“或然判断”的命题，当然是真命题。我们再看命题r的逆命题：“若x<3，则x2<9”；显见这是一个假命题。同一个命题的否命题和逆命题出现了一真一假的“怪事”，问题出在哪儿呢？逆命题只需将原命题的条件与结论“互换”，不会有问题；那么问题只可能出在否命题上，但如果仅从形式上看，否命题也没错。我们之所以说逆命题为假，是因为当x≤-3（满足条件x<3）时，x2≥9（结论x2<9不成立）；那么否命题应该为假，而且否命题之所以为假也是由于“当x2≤-3时，x2≥9”。对于我们现在给出的否命题“若x2≥9，不一定有x<3”，永远是真命题，除非将结论改为“x≥3”；如此，当x2≥9时，可能x≥3，也可能x≤-3，故命题为假。事实上，如果将命题r改为：“若x2<9，则x<3”，命题的真实含义没有改变，而据此写出的否命题就是：“若x2≥9，则x≥3”，它更符合“原意”。

一般的，结论是“必然判断”的命题，在写它的否命题时，宜将“必”“一定”等特征副词略去，再行否定。如：命题“对于整数a，b，若a，b都是奇数，则a+b一定是偶数”的否命题不是“对于整数a，b，若a，b不都是奇数，则a+b不一定是偶数”；而是先将命题改造为“对于整数a，b，若a，b都是奇数，则a+b是偶数”，再写它的否命题：“对于整数a，b，若a，b不都是奇数，则a+b不是偶数”。

（作者单位 江苏省常州市田家炳高级中学）