因式分解在几何问题中的应用分析

曾彩香

摘 要：因式分解是初中数学中的一个重要的变形公式，与分式、整式有密切关系，在解方程及分式运算过程中常常会用到因式分解。因式分解是初中数学中的一种重要解题思想。几何问题是初中数学中的重点和难点，在解题过程中常涉及解方程式和分式运算，因此，将因式分解巧妙地应用到几何问题中，对几何的学习和解题具有重要意义。

关键词：因式分解；几何；应用

因式分解是初中数学中重要的恒等变形，在解各类题型时较常运用。几何是初中数学教学中的一个重点和难点问题，找出因式分解与几何问题之间的关系，并巧妙地将因式分解运用到几何问题中，可以实现将几何题化繁为简和化难为易，培养学生的几何解题能力和知识运用能力。下面，就列举实例分析如何巧妙地将因式分解运用到几何问题中。

一、运用因式分解法判断图形形状

在初中数学几何问题中，常会涉及判断几何图形的形状问题，一般可以通过求解特殊角度和求边长等方式进行判断，解题过程往往比较复杂，采用因式分解法则可有效地实现化难为易的目的。

例1：已知△ABC的三边分别为a，b，c，且三条边满足公式：■+■=■，判断该三角形的形状。

解析：在运用代数思想判断三角形的形状时，通常需要对三角形三边大小进行比较。本题中的代数关系式是一个分式等式，这就需要运用分式的相关知识进行分析和判断，即分母不等于0，通过对分式进行去分母，然后通过因式分解法分解因式。

对■+■=■的左边进行通分，则有：

■=■

由于b+c≠0，则将上式两边同时去除（b+c）得出：

■=■，去分母得：a（b+c-a）=bc，即ab+ac-a2-bc=0

因式分解得：（a-c）（b-a）=0

则有a-c=0或者b-a=0，由此可得a=b或者a=c。

由此可以判断该三角形为等腰三角形。

二、利用因式分解求解图形边长或周长

在初中几何图形题中，常会遇到求解图形边长的题目，学生在求解这类题目时往往不知如何下手，通常可以采用代数的思想来进行求解。

例2：已知a、b为等腰△ABC的两条边，且满足代数式：a2+b2-4a-6b+13=0，试求该三角形的周长。

解析：由于a、b为等腰△ABC的两条边，则可能a为腰或者b为腰，则该三角形的周长可以表示为2a+b或者a+2b。将原代数式变形配方可得（a-2）2+（b-3）2=0，根据非负数性质可以求出a、b的值，从而求出三角形的周长。

由于a2+b2-4a-6b+13=0，对其进行变形和配方有：

（a2-4a+4）+（b2-6b+9）=0，即（a-2）2+（b-3）2=0，

根据非负数性质可知：a-2=0，且b-3=0

则求出：a=2，b=3。

当a为腰时，三角形的三边长分别为2，2，3，则周长为7；

当b为腰时，三角形的三边长分别为3，3，2，则周长为8。

三、利用因式分解求解关于三边关系问题

三角形的三边关系也是初中常见的试题类型之一。这类型的题通常是采用代数的思想求解，求解过程通常会用到因式分解，

在解题过程中涉及因式分解、不等式，需要学生能够灵活运用知识。

例3：已知△ABC的三条边为a、b、c，求证三边满足不等关系式：

a2-b2-c2-2bc<0。

解析：在求解此类题目时，通常采用逆推法对不等式进行因式分解，并利用三角形三边的关系进行分析。

对原不等式的左边进行变形和因式分解，有：

a2-b2-c2-2bc=a2-（b2+2bc+c2）=a2-（b+c）2=（a+b+c）（a-b-c）

由于三角形中，两边之和大于第三边，即有b+c>a，即a-b-c<0

而边长为正值，即a+b+c>0，则有：（a+b+c）（a-b-c）<0，

即a2-b2-c2-2bc<0。

四、利用因式分解求证几何问题

几何证明题是初中数学中最常见的题型之一，且分析各类题型可以发现，在这类题型中常会融合函数、不等式等思想，属于综合类题型，学生在求解过程中往往力不从心。在讲解此类题型的时候，应充分利用因式分解化繁为简的作用，将复杂的几何问题转为代数求解。

例4：已知两圆的半径分别为a、b，两圆的圆心距为c，若关于x的方程式x2-2ax+b2-（b-a）c=0存在两个相等的实数根，证明两

圆外切或相等。

解析：首先应明确两圆相等和外切时，其半径与圆心距之间的关系。两圆相切则说明其半径和为圆心距，两圆相等则说明其半径相等。则将证明两圆外切或相等转化为求证a=b或a+b=c。而题中的方程式有两个相等的实数根，则可根据其根的判别式分析a、b、c之间的关系。

由于x2-2ax+b2-（b-a）c=0有两个相等的实数根，说明其根的判别式Δ=0，

即（-2a）2-4×1×[b2-（b-a）c]=0，即4a2-4b2+4（b-a）c=0，

进一步化简可得：（a-b）（a+b-c）=0

则有c=a+b或者a=b

则证明两圆外切或相等。

例5：已知Rt△ABC的∠BAC=90°，如图所示，AC>AB，其中AD为BC边上的高，M是BC的中点，求证：BM2-DM2=AD2。

解析：这类证明题通常也可充分利用因式分解及等效替换进行求解。可以将BM2-DM2进行因式分解，则有BM2-DM2=（BM-DM）（BM+DM），

而D为BC上的一点，则有BM-DM=BD，

又因为M为BC中点，则BM=MC，则BM+DM=DM+MC=DC，

则BM2-DM2=BD·CD

而AD为Rt△ABC的高，则根据直角三角形斜边上的高的性质AD2=BD·DC，则有：BM2-DM2=BD·CD=AD2，即BM2-DM2=AD2。

因式分解贯穿了整个初中数学的教学体系，在几何教学中也发挥着很重要的作用，是求解几何题必不可少的“工具”之一，它可以将复杂的几何问题数字化、简单化。因式分解在初中几何问题中的运用是对恒等变形思想的升华，是学生通过数字运算和代数思想来驾驭几何知识的过渡。因式分解作为整式乘法的一种逆变形运算，很多学生对于这种思维方式可能存在不适感，在日常教学活动中，教师应加强几何问题中因式分解的应用练习，培养学生的数学解题思维和逆向思维能力。

参考文献：

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（作者单位 广东省东莞市济川中学）