合情推理在小学数学四个领域中的应用

莆田涵江区三江口镇三江小学 梁仁东



合情推理在小学数学四个领域中的应用

莆田涵江区三江口镇三江小学 梁仁东

在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，是“发现真理”的思维。合情推理适合小学生的思维特点，小学数学教学中应注重合情推理的应用，提高学生的学习效率，促进学生思维的发展。

合情推理 小学数学 教学应用

推理一般包括演绎推理和合情推理，合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理中常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，是“发现真理”的思维。《数学课程标准》也提出，“学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”因此，教师应当创造性地使用教材，将合情推理落实到“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等四个领域之中，把数学知识学习的过程展开、还原，让学生经历观察、比较、归纳、类比……即根据合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想是否正确，发展学生的思维能力和创新能力。

1 合情推理在“数与代数”中的应用

“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型。这一领域的整数、分数、小数和百分数及其运算的意义、法则、定律等都是从纷繁复杂的生活实际问题中概括出来的，从“多”中求“同”，也就是从个别特殊的事物中发现规律，并进行归纳。因此，教学中，通常适用从特殊到一般，从个别事物中概括出一般规律的归纳思维方法，而且根据小学生的年龄特点，一般使用不完全归纳法。

（1）概括意义。

得出：分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1。

得出：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数，假分数大于或等于1。

（2）归纳定律。

如：（3×5）×4=3×（5×4）

（15×25）×4=15×（25×4）

（34×28）×21=34×（28×21）……

得出：（a×b）×c=a×（b×c）,叫作乘法结合律。

（3）发现规律。

如：6÷3=2

24÷12=2

48÷24=2

120÷60=2……

得出：被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。

（4）抽象数量关系。

如：一个游泳圈12元，3个游泳圈多少元？列式：12×3=36（元）

一个皮球15元，3个皮球多少元？列式：15×3=45（元）

一瓶可乐7元，2瓶可乐多少元？列式：7×2=14（元）

……

得出：总价=单价×数量

教学中，教师应创设问题情境，把数学知识学习的过程展开、还原，让学生经历“观察—归纳—验证”归纳推理的整个过程，让学生明白应用不完全归纳法得出的结论不一定正确，还需要进一步证明。这样，就能让学生经历知识的产生、发展过程，避免对知识进行机械的程式化训练，从而通过解决实际问题培养学生的数感。

2 合情推理在“空间与图形”中的应用

关于“空间与图形”的教学，《数学课程标准》指出：应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换；注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。这一领域中，点、线、面、体相互联系，很多新的知识在很大程度上是在先前的知识上发展起来的，在方法、思想等方面都有着一定的联系，教学中可应用类比推理，根据两个不同对象的某些方面（如特性、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似，来探索新知。

例如，教学平行四边形面积的计算，首先，复习旧知：“长方形、正方形是特殊的平行四边形，对边都平行且相等，具有很大的相似性。”其次，“长方形的面积=底×高，正方形的面积=边长×边长”，引导学生猜想：“平行四边形面积的计算公式是怎样的，用什么方法来验证自己的猜想？”

应用类比推理，就是要抓住事物普遍存在的相似性，即使是相差甚远的两类对象只要按其内在联系的相似性就能进行类比。如，长方体和圆柱的体积可用“底面积×高”进行计算，类推棱柱和圆柱形钢管等都可以这样计算。计算三角形的面积，可把两个完全一样的三角形移拼转化成平行四边形进行计算；类推梯形面积的计算公式的推导。由圆的面积计算公式推导类比圆柱体积计算公式的推导；圆锥的体积和圆柱的体积的类比；不规则图形面积的计算和规则图形类比等等。

教学中，要着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手看一看，比一比，想一想，猜一猜，给足时间与空间，组织学生实践操作，让学生参与类比推理的全过程：观察—类比—联想。借助旧知识进行类比推理，将学生的原有认知结构向横向拓展、向纵向延伸，加深对知识的理解和掌握，将先后的知识组成一个完整的体系。

3 合情推理在“统计与概率”中的应用

“统计与概率”是通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。《数学课程标准》强调：教学中应注重学生有意识地经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的统计过程，在具体情境中对可能性的体验，培养统计推理能力。

统计中的合情推理是利用已有的知识对收集的数据进行分析，作出合理的预测或推断，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。如：为参加市乒乓球赛，学校要从两人中挑选一人，选谁比较合适呢？首先应由学生对两人在校队练习的成绩、双方交战的纪录等情况进行调查，然后整理成数据，进行比较分析，再根据处理后的数据作出决策，确定应该选谁参加。又如教学“平均数”，解决问题：①小明身高1.5米，到平均水深1.2米的游泳池游泳，是否有危险？②六（1）班学生的平均身高比六（2）班的高，六（1）班的小明是否一定比六（2）班的小华高。解决第一题，学生就要通过收集游泳池深水区和浅水区的水深数据，明确深水区的水深超过小明的身高，然后作出推断。解决第二题，让学生对每个学生的身高数据进行收集，分析就会发现六（1）班学生也有矮的，六（2）班的学生也有高的。

学生经历统计推理的整个过程，理解了平均数的实际意义。就不会为统计而统计，而是明确了统计的目的，避免单纯的统计量的计算。

4 合情推理在“实践与综合应用”中的应用

设立“实践与综合应用”领域的重要目标是加强数学与现实生活的联系，数学各部分知识之间的联系，以及数学学科与其他学科的综合，让学生经历观察、操作、实验、调查、推理等实践活动，学会综合运用所学的知识、经验和方法，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感，解决实际问题的成功体验，促进学生综合应用能力的发展，树立正确的数学观。因而为学生合情推理能力的培养提供了发展的机会，拓宽课堂教学范围，大大超越以接受为主的内容活动范畴。如教学《合理存款》，①出示情景图，让学生获取数学信息，形成问题：小明妈妈准备一万元等六年后小明上大学用，怎样存款收益最大？②让学生汇报课前通过各种渠道收集有关人民币储蓄的种类及利率相关规定的信息，筛选信息。③根据信息设计存款方案，并对方案进行比较、预测、推断，排除一些方案。④运用所学的数学知识进行计算，验证筛选出最优方案。这样，让学生经历收集加工信息，根据信息设计方案，并进行预测、推断、筛选和验证，有机渗透了合情推理的思维，综合应用合情推理各类方式，养成善于观察、猜测、分析、推理的好习惯。

教学中，在每个领域中应用合情推理方式不是固定不变的，而是要根据教学内容，或归纳推理，或类比推理，或统计推理，或综合应用。还应注意合情推理结论的或然性，不能过分夸大合情推理的优势，将合情推理等同于演绎推理，要让学生在解问题的过程中知道合情推理的结论不一定正确，需要进一步证明，必须与演绎推理优势互补，形成正确应用合情推理的意识，将合情推理的应用提高到一个更加科学的层次，以至成为“科学发现的金钥匙”。

[1] 乔治.波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京:科学出版社,1982.

[2] [美]乔治.波利亚.数学与猜想(第一卷)[M].李心灿,译.北京:科学出版社,1984.

[3] [美]乔治.波利亚.数学与猜想(第二卷)[M].李心灿,译.北京:科学出版社, 1984.

[4] [美]乔治.波利亚.数学的发现(第二卷)[M].刘景麟,译.呼和浩特:内蒙古人民出版社, 1981.

[5] 史宁中. 数学课程标准(2011年版)解读[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 2012.

[6] 余辉.循序渐进地培养学生的合情推理能力[J].福建教育:小学版, 2010(6): 46-48.