利用勾股定理求图形面积

刘权引

勾股定理揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以帮助我们解决许多与直角三角形有关的计算问题，下面就如何运用勾股定理解决面积问题举例说明，供同学们参考。

一、直接运用

例1 如图1，BC=4 cm，AB=3 cm，AF=12 cm，求正方形CDEF的面积。

分析 利用勾股定理求出CF 2，即是正方形CDEF的面积。

解 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2=AB2+BC2=42+32=52。

同理在Rt△ACF中，CF 2=AF 2+AC 2=122+52=169，所以S正方形CDEF的面积=CF 2=169（cm2）。

例2 如图2所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，大正方形的边长为9 cm，则四个正方形A、B、C、D的面积的和是________cm2。

分析 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，可发现四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积。

解 由图形可知，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A、B、C、D的面积之和等于81 cm2。

点评 根据勾股定理的几何意义，一个数的平方的几何意义就是以该数为边的正方形的面积。解题时要熟练运用勾股定理进行面积的转换。

二、通过构造直角三角形应用

例3 如图3，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。

分析 考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°，可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其他知识来解决。

解 延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。

因为∠A=60°，所以∠E=30°。

又AB=2，CD=1，

所以AE=2AB=4，CE=2CD=2。

由勾股定理得，DE==，

BE==2。

所以S四边形ABCD =S△ABE -S△CDE=×2×2-×1×=。

例4 若a、b为正数，且，，是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。

分析 通过观察，该三角形不是一个特殊三角形，不宜直接求解。由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a、2b的矩形，再由面积的割补来求解。

解 如图4，作矩形ABCD，使E、F分别是AB、AD的中点。设AB=2a，BC=2b，

由勾股定理知，EF==，

CF==，

CE==，

从而可知，S△EFC就是题目所要求的三角形面积，即

S△EFC=S矩形ABCD -（S△AEF+S△BEC+S△DFC）

=4ab-（ab+a·2b+b·2a）=ab。

点评 在解题时，当图中没有直角三角形时，要通过构造直角三角形来应用勾股定理。

三、结合完全平方公式应用

例5 直角三角形的斜边长为1.5 cm，周长为3.6 cm，求这个直角三角形的面积。

分析 两直角边长之和为3.6-1.5=2.1，设一条直角边长x，则另一条直角边长为2.1-x，由勾股定理得：x2+（2.1-x）2=1.52，将会用到一元二次方程，同学们没学过一元二次方程，可考虑用关系式（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形。

解 因为（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形，所以S三角形=[（a+b）2-c2]=（2.12-1.52）=0.54。所以这个直角三角形的面积是0.54 cm2。

点评 利用关系式（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形，这说明两直角边的和、斜边的长和三角形的面积之间存在联系。同样，在上述3个量中已知两个量可以求出第三个量。