浅谈积分学中的共性

张雨田

摘要：笔者通过比较各类积分的基本概念、运算性质、计算方法及技巧，帮助同学们更深刻地认识到不同类型的积分之间存在着某些共性，从而有利于学生记忆和熟练掌握多元函数积分。

关键词：积分；类比；共性

中图分类号：O172.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）52-0090-03

积分学是高等数学教学内容中的重要组成部分，包括定积分，二重积分、三重积分、曲线积分（第一型与第二型）和曲面积分（第一型与第二型）。众多学生在学完高等数学全部内容后，都会有这样的感想：在学习积分的过程中，数学符号描述得越来越烦琐，概念表述得越来越抽象，计算演变得越来越复杂。一般情况下，同学们在初学定积分时会认为较容易，在接触二重积分时感觉还能接受，但在会晤三重积分时，就会产生些许距离。更甚的是，部分同学在学习完曲线积分和曲面积分后，某些情况下经常会同定积分和重积分混淆不清，从而导致计算方法的张冠李戴。事实上，不论是定积分，或是重积分，还是曲线（面）积分，它们同属积分学的分支，在许多方面都具有共性，找到这些共性，然后运用类比的方法进行学习研究，有助于我们更好地理解相关知识。

一、概念的类比

积分学的思想源于采用“元素法”求物理量。具体步骤分为四步：分割、取近似、求和、取极限。运用这一思想，我们解决了曲边梯形面积的求解问题，并抽象为数学语言，提出了定积分这一概念。曲边梯形的面积便是定积分的几何意义，而不均匀（密度不同）的直线型导线的质量则是定积分的物理意义。基于定积分的物理意义，从物体的几何形状出发，我们的研究对象可作如下演化：导线质量→薄片质量→空间立体物体质量，其中，导线质量又分为直线型导线质量和曲线型导线质量，而薄片质量可分为平面薄片质量和曲面薄片质量。类似于定积分的提出，运用“分割、取近似、求和、取极限”的方法，可以用数学式子表示出不均匀曲线型导线、平面薄片、曲面薄片和空间物体的质量，分别抽象为数学语言即为我们所学的第一型曲线积分、二重积分、第一型曲面积分和三重积分。不难发现：定积分、二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分的物理意义都是不均匀的物体质量，区别在于对象不同。

二、性质的类比

假设：被积函数在积分范围内均连续。则对于定积分，有：

（1）■αf（x）+βg（x）dx=α■f（x）dx+β■g（x）dx

（2）■dx=b-a （3）■f（x）dx=f（ξ）（b-a），ξ∈（a，b）

通过类比，不难联想到关于二重积分有：

（4）■αf（x，y）+βg（x，y）dσ=α■f（x，y）dσ+

β■g（x，y）dσ

（5）■dσ=SD （6）■f（x，y）dσ=f（ξ，η）SD，（ξ，η）∈D

对于三重积分有：

（7）■αf（x，y，z）+βg（x，y，z）dv=α■f（x，y，z）dv+

β■g（x，y，z）dv （8）■dv=VΩ

（9）■f（x，y，z）dv=f（ξ，η，ζ）VΩ，（ξ，η，ζ）∈Ω

对于第一型曲线积分有：

（10）■（k■f（x，y）+k■g（x，y））ds=k■■f（x，y）ds+

k■■g（x，y）ds）

（11）■1ds=L0 （12）■f（x，y）ds=f（ξ，η）L0，（ξ，η）∈L

对于第一型曲面积分有：

（13）■∑（k■f（x，y，z）+k■g（x，y，z））dS=k■■∑f（x，y，z）dS+k2■∑g（x，y，z）dS

（14）■∑dS=A，（15）■∑f（x，y，z）dS=f（ξ，η，ζ）A，

（ξ，η，ζ）∈Σ

定积分、重积分、第一型曲线（面）积分均满足线性运算性质、中值定理。并且，当被积函数为1时，相应的积分值均只与积分区域有关，或是积分直（曲）线段的长度，或是积分平（曲）面薄片的面积，又或是积分立体物体的体积。

三、计算方法的类比

定积分的计算较简单，主要工具是莱布尼茨公式，而重积分、曲线积分和曲面积分的计算较复杂，但最终均需转化为定积分。

1.重积分的计算。重积分计算较复杂，主要思想是根据积分区域的特点，并结合被积函数的特征将重积分转化为几次定积分，也称为累次积分。同学们往往在将重积分转化为累次积分的过程中感到棘手。事实上，无论是将二重积分或是三重积分转化为累次积分，其基本原则是一致的，即在转化的过程中要保证“积分区域中点的遍历性”。如何做到这点？因为重积分的变量有多个，所以不宜对于所有变量同时进行动态考虑。能想到的方法是：在固定其中某些个变量的前提下，再来观察剩余的变量的动态变化。这是我们转化重积分为累次积分的核心思想。将二重积分转化为累次积分的步骤分三步：首先，找到积分区域D（平面中的有界闭区域）内其中一个变量（或x或y）的变化范围。不失一般性，这里我们首先考虑变量x的取值范围。具体实现方法为：将积分区域D投影到x轴上，得到投影区间Lx，而Lx即为变量x的取值范围。然后，在积分区域D内先将变量x固定于某一定值，再看变量y的变化范围。显然，不同的x定值对应着不同的变量y的变化范围。具体实现方法为：在投影区间Lx上任意取定一点，作等x线（平行于y轴的直线）穿透区域D，不同的点将会引出不同的穿透直线。最后，考虑这些不同的变量y的变化范围是否能统一？即是否能用同一个数学式子表示出来？具体实现方法为：考虑对于不同的穿透直线，其穿透方式是否总是一致？即是否沿着同样的曲线穿入，又沿着同样的曲线穿出？如是，二重积分可直接转化为二次定积分。如不是，则应划分积分区域为几个小区域，然后对于每个小区域再重新实施前面所提到的三步。类比地，我们可以联想到将三重积分化为累次积分的方法：首先，找到积分区域Ω（空间中的有界闭区域）内其中两个变量的变化范围。不失一般性，这里我们首先考虑变量x和变量y的变化范围。具体实现方法为：将积分区域Ω投影到xoy坐标面上，得到投影区域Dxy，而 即为变量Dxy和变量y的变化范围。然后，在积分区域Ω内先将变量x及变量y固定，再看变量z的变化范围。显然，不同的固定实数对（x，y）将会对应着不同的变量z的变化范围。具体实现方法为：在投影区域Dxy上任意取定一点，作等x且等y线（平行于z轴的直线）穿透区域Ω，不同的点将会引出不同的穿透直线。最后，考虑这些不同的变量z的变化范围是否能统一？即是否能用同一个数学式子表示出来？具体实现方法为：考虑对于不同的穿透直线，其穿透方式是否总是一致？即是否沿着同样的曲面穿入，又沿着同样的曲面穿出？如是，三重积分的计算可转化为先一（定积分），后二（二重积分）的计算。如不是，则应划分积分区域为几个小区域，然后对于每个小区域再重新实施前面所提到的三步。

2.曲线积分和曲面积分的计算。曲线（曲面）积分的计算与重积分计算区别较大，主要原因是：积分范围不同。重积分中积分区域是平面上的有界闭区域或是空间中的有界闭区域，积分变量之间的关系无法以函数形式表现；但曲线或曲面积分中的积分区域则是平面上的一段曲线或是空间中的一块曲面，所以，多个积分变量必须协同满足相应的曲线方程或曲面方程，从而结合弧长微分或曲面面积微分公式可以做到：减少积分变量的个数。具体地，可以将曲线积分转化为定积分，可以将曲面积分转化为二重积分，再由二重积分的计算转化为定积分。

四、计算简化技巧的类比

在积分计算中，有一些常用的简化技巧，较典型的是：当积分区域具有一定的对称性时，可以根据被积函数的奇偶性作大大的简化。下面，我们就定积分、重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分，对这一技巧作类比说明。

1.如果f（x）在[-a，a]是奇函数，有■f（x）dx=0；当被积函数是偶函数时，有■f（x）=2■f（x）dx。

2.如果积分区域D关于x轴对称，则当被积函数f（x，y）关于变量y是奇函数时，有■f（x，y）dσ=0；当被积函数关于变量y是偶函数时，有■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ，其中D1是区域D在x轴上侧的部分。类似地，可讨论积分区域关于y轴对称的情形。

3.如果积分区域Ω关于xoy面对称，则当被积函数f（x，y，z）关于变量z是奇函数时，有■f（x，y，z）dv=0；当被积函数关于变量z是偶函数时，有■f（x，y，z）dv=2■f（x，y，z）dv，其中Ω1是Ω在xoy面上方的部分。类似地，可讨论积分区域关于 xoz面，yoz面对称的情形。

4.如果积分曲线L关于x轴对称，则当被积函数f（x，y）关于变量y是奇函数时，有■f（x，y）ds=0；当被积函数关于变量y是偶函数时，有■f（x，y）ds=2■f（x，y）ds，其中L1是L在上侧的部分。类似地，可讨论积分曲线关于y轴对称的情形。

5.如果积分曲面Σ关于xoy面对称，则当被积函数f（x，y，z）关于变量z是奇函数时，有■∑f（x，y，z）dS=0；当被积函数关于变量z是偶函数时，有■f（x，y，z）dS=2■f（x，y，z）dS，其中Σ1是Σ在xoy面上方的部分。类似地，可讨论积分曲面关于 xoz面，yoz面对称的情形。

通过以上关于各类积分概念、运算性质、计算方法及简化技巧的类比，可以看到：不同类型的积分在许多方面都是具有共性的，包括概念的提出，满足的运算性质及计算方法和技巧，把握住这些共性，可以更好的了解和掌握积分学。当然，在各类积分之间，绝对也存在着差异，欲了解差异是什么，则需先弄清引发差异的源头。这里，大家可以考虑第一型曲线积分和第二型曲线积分的差异，本文不作阐述。