恒成立之我见

黄木兴

不等式恒成立问题主要可分成两类：第一类为不含参数的不等式恒成立问题；第二类为含有1个（或多个）参数的不等式恒成立问题.对于第一类问题，实际上就是证明这个不等式，本文不再赘述；对于第二类，其基本解题思想是将问题转化为函数的最值问题，常见的基本解法有以下几种.

一、分离参数，间接求最值

在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.

例1：已知f（x）=ax +x（a∈R，a≠0），若x∈[0，1]时，总有|f（x）|≤1，试求a的取值范围.

解析：当x=0时，|f（x）|=0<1恒成立.当x≠0时，|ax +x|≤1，可化为a≤ - ，a≥-（ + ），令 =t，∵x∈（0，1]，∴t∈（1，+∞]，∴即当t∈（1，+∞]时恒有a≤t -ta≥-（t +t）即a≤0，a≥-2，又因为a≠0，所以a∈[-2，0）.

点评：据a>f（x）恒成立？圳a>f（x） ；a

二、不分离参数，直接求最值

例2：设f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围.

解析：构造辅助函数g（x）=f（x）-ax=（x+1）ln（x+1）-ax，原问题变为g（x）≥0对所有的x≥0恒成立，注意到g（0）=0，故问题转化为g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上为增函数.于是可通过求导判断g（x）的单调性，再求出使g（x）≥g（0）成立的条件.g′（x）=ln（x+1）+1-a，由g′（x）=0，得x=e -1.当x>e -1时，g′（x）>0，g（x）为增函数.当-1

假若我们没有注意到g（0）=0，那么在解g（x）≥0对所有的x≥0恒成立时，也可转化为g （x）≥0（x≥0），再以导数为工具，稍作讨论即可得解.

值得一提的是，本题还有学生采用参数分离法求解：由f（x）=（x+1）ln（x+1）≥ax对所有的x≥0恒成立可得：（1）当x=0时，a∈R；（2）当x>0时，a≤ .设g（x）= ，问题转化为求g（x）在开区间（0，+∞）内的最小值或下界，g′（x）= ，试图通过g′（x）=0直接解得稳定点，困难重重.退一步令h（x）=x-ln（x+1），因为h′（x）=1- ，x>0，所以h′（x）>0，则h（x）在（0，+∞）单调递增，即h（x）>h（0）=0，从而g′（x）>0，于是g（x）在（0，+∞）内单调递增，故g（x）无最小值.此时，由于g（0）无意义，g（x）的下界一时也确定不了，但运用极限知识可得：g（x）> g（x），然而求此极限却又超出所学知识范围，于是大部分考生被此难关扫落下马，事实上采用洛比达法则可得： g（x）= = [ln（x+1）+1]=1，故x>0时，g（x）>1，因而a≤1.综合（1）（2），得a的取值范围是（-∞，1].

点评：采用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离后所得函数的下界.它需要学生拥有扎实的综合素质和过硬的极限、导数知识，并能灵活地运用这些工具研究函数的性态，包括函数的单调性，极值（最值）或上下界.突出考查了函数与方程思想、有限与无限的思想.

三、数形结合

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图像、图形较易画出，则可通过图像、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.

例3：已知函数y=f（x）=3x+6，x≥-2-6-3x，x<-2，若不等式f（x）≥2x-m恒成立，则实数m的取值范围是

解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y=2x-m及y=f（x）的图像，由于不等式f（x）≥2x-m恒成立，因此函数y=2x-m的图像应总在函数y=f（x）的图像下方，因此，当x=-2时，y=-4-m≤0，所以m≥-4，故m的取值范围是[-4，+∞）.

注：解决不等式问题经常要结合函数的图像，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确作出函数的图像.如：不等式x -log x<0，在x∈（0， ）时恒成立，求a的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设f（x）=x ，g（x）=log x，然后在同一坐标系下准确地作出这两个函数的图像，借助图像观察便可求解.

含有参数的不等式恒成立问题是与函数最值相关的重要问题，解题中要注意方法的灵活运用，对于无需分类讨论便可实现参数分离的，应首选“参数分离”，除此之外，直接求最值及数形结合也是不错的选择.