观2013年各地向量考题说2014年向量复习建议

杨平 赵青 张玉兰

《普通高中数学课程标准》指出，向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛的应用

因此，《考试说明》中对平面向量部分的要求大都在B级或C级高考试题涵盖选择、填空和解答各个题型，包含易、中、难3个等级本文就2013年各地数学高考中向量型试题的考查特点进行系统的分析，并提出2014年高三向量复习建议

1考查向量的概念、性质及坐标运算仍然是主旋律

如向量的模、向量a在b方向上的投影、向量共线、向量平行与垂直、向量运算等都是重点考查内容.

平面向量数量积是研究向量垂直、平行、向量的夹角、投影的重要途径，是考查的重点此题以命题的形式出现，但考查a·b的运算公式及向量平行的概念 如2013年课标Ⅰ也考了平面向量数量积运算.

此题属于容易题，考查了实数与向量乘积运算 实数与向量乘积是研究向量共线的基础，也是平面向量基本定理的必备内容不难得出，向量a|a|是与a同向的单位向量.

答案选A.

评注此题考查向量的坐标运算及模的几何意义

2平面向量基本定理—— 一个能编网的定理

平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，e1，e2为所有向量的一组基底

这个定理给我们一个提示，即平面内的所有向量都可以用基底来表示，换句话说，平面内的向量可以用基底统一起来于是，基底也就把不同的向量联系在一起，我们可以找到其关系，可以建立方程，向量也因此不再孤立，每个向量都存在于一个系统之中其实，向量的坐标运算，也是将向量利用单位正交基底统一起来，二者都是把参与运算的向量用基底（已知向量）表示出来.

评注之所以选向量AD，AB作为基底，是因为题设中有AD，AB的模和夹角的信息 因此，把向量AD，AB作为基底，根据平面向量基本定理把AC与BE联系起来，再进行运算，这是向量线性运算中常用的策略此题也可以建立直角坐标系，找到向量坐标来运算.

类似的问题，如2013年山东理科第15题，2013年江苏第10题，2013年四川理科第12题，2013年北京理科第13题、文科第14题等都涉及到这类问题.

3向量与函数完美结合

由于向量的数量积为实数，又向量的坐标表示也是代数化的形态，故历年高考题中多次出现以向量形式出现的函数问题，尤其是2013年浙江理科第7题，很是夺人眼球.

分析学生面对此题很茫然，其原因是对条件“对于边AB上任一点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C”不理解.

首先，这是一个函数问题，对任一点P而言，PB·PC是变量，即函数f（P）=PB·PC；其次，函数f（P）的最小值为f（P0），且取最小值时的位置是P=P0，这点不难理解，因为求函数最值问题时，都要求出最小值或最大值时的x的取值，或最优解 因此切入点是找函数取最小值时的位置.

评注此题堪称经典，向量为背景，考查函数的最值问题，但题目中没有出现明显的最大值、最小值、取值范围等函数的痕迹.

评注相比之下，浙江理科第17题比第7题函数的痕迹要明显的多入手也显得轻松一些.

评注此题毕竟情况特殊，因此看似麻烦，但函数表示法中有列表法与之相呼应 当然，通过表格或画图，可以观察ai+aj与ck+cl的结果，发现其彼此为相反向量，又由于

a·b=|a|·|b|cos θ，其最小时应为θ=π，且|a|·|b|最大，故只需找到ai+aj中模最长的向量即可.

函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型函数是中学数学中最重要的基本概念之一初中学习了函数的描述性概念，解决了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数，了解其图像和性质；高中（必修1）学习函数概念、基本性质与基本初等函数；选修系列的导数及其应用的学习，是对函数学习的进一步加强生活中函数可以说无处不在，因此，不只是学习函数知识，还要建立函数意识.

4向量与三角综合

向量是沟通几何、代数、三角的桥梁，向量的夹角与向量的数量积运算公式都离不开角因此，向量与三角部分知识的交汇，使得很多试题都在向量与三角部分进行综合.

评注此类问题中规中矩，是向量与三角的综合问题，但核心还是三角函数的图像和性质问题.

向量是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁除了这些形式的向量试题，在很多问题中，大家都用到向量来解决一些问题，如2012年北京高考解析几何试题，证明三点共线，利用向量证明相当方便何时能用向量解题呢？这就需要我们了解向量的概念和性质、运算，这样就可以有针对性地使用向量解决问题.

不难看出，理解基本概念，抓住概念的本质，仍然是平时学习过程中的关注点，重中之重，还有，不能孤立地看每一个向量，因为向量彼此是有联系的，同时向量还可以与函数、三角、几何联系起来，形成了一个系统不只向量如此，所有的数学概念都如此，它们存在于一个系统中，不是孤立的.

作者简介杨平，男，45岁，特级教师；赵青，女，中学高级教师；张玉兰，女，北京市高中数学特级教师