基于凸优化的认知中继功率分配

张红

摘要：该文研究了基于凸优化的认知中继功率分配问题。考虑在干扰温度的限制下，如何通过合理的子载波功率分配使得系统容量最大化。文章依据凸优化理论给出该问题的最优迭代算法，并从改善算法平均时间复杂度的角度加以改进，进而提出一种次优算法。数值仿真结果表明，次优算法相比最优算法有一定的性能损失，但是计算复杂度大大减少。

关键词：认知无线电；协作传输；功率分配；凸优化

中图分类号：TN925 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2013）07-1617-05

认知无线电是一种能够有效解决频谱短缺并提高频带利用率的无线通信技术[1]，它可以对频谱空洞进行检测并在不影响主用户网络（Primary Network）通信的情况下为次用户网络（Secondary Network）提供频谱共享的接入服务。为了衡量次用户（Secondary User，SU）对主用户（Primary User，PU）通信的干扰程度，文献[2] 提出了认知无线电网络中干扰温度的概念，只要在主用户工作频段内，次用户的累积射频信号功率不能超过干扰功率门限。

协作通信是一种能够有效对抗信道衰落、增加系统吞吐量的空间分集技术[3]。文献[3-5]提出了三种用于协作通信的中继方案：放大转发（Amplify-and-Forward，AF）、解码转发（Decode-and-Forward，DF）和编码协作（Coded Cooperation，CC），其中DF方案可以分为固定中继、选择中继和增量中继三种[4]。

许多文献都对认知环境下协作节点的功率分配问题进行了研究。其中，正交频分复用（Orthogonal frequency-division multiplexing，OFDM）技术由于其在资源分配方面的灵活性，从而常用于协作节点的信号调制。文献[6]研究了基于OFDM的认知无线电系统加权速率和最大问题，文献[7]针对基于OFDM认知协作系统的子载波功率分配问题提出了两种算法，文献[8]基于凸优化理论研究了次用户在一定发送时延限制下使节点发射功率最小化问题。需要说明的是，以上文献均假设每个次用户都具备认知能力，然而文献[9]指出这在现实通信中很难实现，故而提出在区域中设置具有认知能力的固定中继进行频谱感知并协作其它次用户的传输。

本文研究了基于凸优化的认知中继功率分配问题。在文章给出的网络场景中，只有固定的中继节点具有认知能力，且该节点采用OFDM调制。考虑在干扰温度的限制下，如何通过合理的子载波功率分配使得系统容量最大化。文章依据凸优化理论给出该问题的最优迭代算法，并从算法平均时间复杂度的角度加以改进，进而提出一种次优算法。数值仿真部分对文中所提的两种算法进行了对比。

本文余下的内容是这样安排的：第二节给出了系统模型并对本文所分析的功率分配问题进行了描述，第三节推导了功率分配问题的凸优化模型，依据对该凸优化问题的求解提出了最优和次优功率分配算法，第四节对两种算法的性能做了仿真分析，最后对全文进行总结。

1 系统模型和问题描述

1.1 系统模型

考虑如图1所示的认知无线电网络，由主用户网络和次用户网络构成。假设次用户网络被分为三个扇区，扇区中的固定认知中继（Cognitive Relay，CR）和网络的接入点（Access Point，AP）构成了协作频谱感知系统，并负责协调次用户间的信道分配。SU不具备频谱感知能力，因为这在实际的通信环境中很难实现，且其必须在干扰温度的限制下进行通信。所有用户均配置单天线，既可以接收数据又可以发射数据。

由于无线传播的广播特性，CR能够侦听到SU向AP的发射信息。我们考虑在中继节点采用增量DF中继模式，即只有在AP未能正确接收的情况下才转发SU数据。依据MAC（Media Access Control）层的定义，一帧数据分[M]个时隙供[M]个用户接入，接入策略依据以下规则进行：

1）当用户[SUi]发送数据队列非空时，其在所分配的时隙内依次发送数据；

2）若AP正确接收，则发送一个ACK告知[SUi]和CR；反之，CR和[SUi]將数据保留在其队列；

3）CR利用感知到的空闲时隙发送数据，若AP正确接收则发送一个ACK信号，相应的次用户将该数据删除；

4）若在一帧时间内仍未能成功传输，则CR将该数据删除，由源节点负责重传。

文献[10]的研究表明认知中继在扇区中的最佳位置位于扇区角平分线上，并且距AP的距离[DCR-AP]满足

其中，[ρ]表示扇区半径。该文亦依据这一结论设置各CR位置。

2.2 问题描述

假设次用户网络信道衰落相互独立，每个次用户均采用时分双工模式通信。CR基于OFDM调制方式上行传输数据，其分得子载波信道[K]个，相应的子载波发射功率为[pk]，干扰噪声功率为[σ2k]，链路增益为[hk]，则[K]个子载波上的吞吐量为

需要指出的是，[K]个子载波并非只是传输一个用户的信息，而是可以同时承载多个用户数据。子载波的分配遵循“尽力而为”和“先到先服务”的准则，即总是优先满足先到的用户需求，分配过程由CR完成。

我们考虑如何在发送功率限制和主用户干扰限制的条件下最大化吞吐量[R]，该问题可以表述如下

其中，[P]是发射总功率限制，[gk]是次用户使用子载波[k]时的干扰链路增益，[Tk]是对应的干扰温度。

3 功率分配算法

可以明显地看出，式（3）是一个凸优化问题。引入拉格朗日（Lagrange）算子[μ≥0]、[λk≥0]、[βk≥0]，得到式（3）的Lagrange函数

由凸优化理论[11]知道，当原问题是凸问题时，Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件不仅是必要的，而且是充分的。式（4）的KKT必要条件和互补松弛条件如下

综合考虑式（5a-5d），得到最优功率分配[popt-k]的表达式

采用文献[12]的定义，[Nk=hk2σ2k]表示等效噪声，[Ik=Tkgk2]为干扰限制，[L=1μln2]表示向各子载波信道注入功率后的上限，则式（6）可等效表示为

从式（7）可以看出，求解最優功率分配[popt-k]的过程其实就是求解[L]最大值[Lmax]的过程，该式没有闭式解，但可以通过迭代算法求解。

据以上分析可知，[L]的取值满足[min{Nk}≤L≤max{Nk+Ik}]。我们首先考虑求解[Lmax]的最优迭代算法，所谓最优是指对于给定的功率[P]总是能得到最大限度的利用。该算法以功率[P]作为初始剩余功率，并将该值均匀分配到每个子载波，如果在某个子载波上超出干扰限制，则将超出的部分收回，反复进行此过程直到功率[P]分配完全或者所有子载波上均超过最大干扰限度而终止迭代。表1给出了最优功率分配迭代算法的伪代码。

上述迭代算法的平均时间复杂度为[Ο（Klog2K）]，随着[Nk]和[Ik]之间差异的增大，计算量会急剧增加。

进一步的观察可以发现，表1中的算法实质是通过不断减少功率剩余从而达到逐步提高“注水线”的过程，算法的平均时间复杂度相对较高。为此，我们提出了表2中的次优算法。该算法通过对[L]进行离散搜索，并在终止点加以剩余功率修正从而得到式（7）的次优解[Lsmax]。次优算法并不能确保功率总量[P]总是能得到充分利用，但是能够以有限的性能损失换来计算效率的提高，尤其是当各子载波信道的[Nk]、[Ik]之间差异较大的时候，可大幅度减少计算量。

4 数值仿真

本节对文章提出的功率分配算法进行数值仿真分析。仿真中取8个子载波信道，高斯白噪声噪声功率设置为[σ2k=-50dBm]，总功率门限[P=40]mW，各个子载波信道初始化为[Nk={2，3，8，2，1，3，1，2}]mW，[Ik={8，13，9，11，5，10，7，4}]mW，子载波信道带宽均进行归一化处理。分别执行表1和表2算法后可得[Lmax=8.4]，[Lsmax=8.25]，表3列出了此时各子载波信道的功率分配情况以及子信道容量。

从表3可以看出次优算法相比最优算法有0.75mW的功率剩余，即未能充分利用所拥有的功率总量[P]，且其信道容量相比最优功率分配时有0.15bit损失。

图2给出了最优算法、次优算法以及等功率分配时子载波信道平均容量与总功率[P]的关系。最优分配算法的平均容量最大，因为其对于给定总功率[P]总是能最大限度的利用，次优算法的平均容量值略低于最优算法，但都比等功率分配的平均容量大。同时从图上可以看到，在等功率分配情况下，当[P>39]mW时，随着[P]的增大平均容量值的增长幅度变得缓慢，主要是因为较小的[Ik]逐渐开始限制整个系统总容量的增加幅度。

图3将最优算法与次优算法的平均时间复杂度进行了对比。可以明显地看出，次优算法要比最优算法节省大量的计算量。这种优势在各子载波信道的[Nk]、[Ik]之间差异较大的时候尤为突出。当然，计算效率的提高是以损失一定性能为代价的，对于本文所提的次优算法来讲，这种损失是值得的。

5 结束语

针对认知无线电网络中固定认知中继子载波功率分配问题，该文从凸优化角度进行了理论分析，并提出两种求解功率分配的迭代算法。最优算法注重对于给定功率总量的最大限度的利用，次优算法以损失一定性能为代价换取计算效率的提高，并不能保证功率总量的充分利用。数值仿真部分的分析表明，虽然次优算法相比最优算法有一定的性能损失，但是计算量大大减少，这种优势在各子载波信道间差异较大的时候尤为突出。

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