高中数学生成性教学资源的内涵挖掘

童其林

传统的数学课堂，上课就是执行教案的过程，教师的教和学生的学在课堂上最理想的状态就是按时完成教学预案；教师期望学生按预定的设想做出回答，否则就通过教师丰富的教学经验和课堂驾驭能力来努力引导学生，直至达到预设的答案为止。教师也乐于把自己或别人的理解传授、灌输给学生，以自己的理解、分析取代学生的感受、思考，迫使学生进入教师对课程的理解。虽然教师身边的教育情境总是处于不断发展变化中，遗憾的是教师常常视而不见，于是学生智慧的火花转瞬即逝，激情的碰撞被无情压抑。教师精心设计的教案像一根无形的绳索牵动着学生，束缚着老师，让他们围着它团团转，课堂于是成了“教案剧”出演的舞台。

在新课程时代，各种新的教学理念如同钱江大潮般向我们涌来。数学课堂是充满生命活力的，学习过程是动态发展的，学生应作为一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感、兴致参与课堂活动，从而使课堂教学呈现出丰富性、多变性和复杂性。所以时代呼唤新的数学课堂，而新的数学课堂具有动态生成的特点。只有在生成性的数学课堂中，学生才能得到有效发展，全面的提高。

随着数学新课程改革的深入发展，数学教师纷纷开始生成性课堂的教学探求。我们的数学课堂正悄悄地发生变化，但迷惘和困惑常伴随着我们。一是教师过于重视预设而忽视生成，在课堂中完全忠实地实施预设方案，按部就班地完成了预定任务，限制了学生对预设目标的超越，学生的创造智慧泯灭其中——教师对“预期性生成”还是胸有成竹的，但一些教师面对课堂上纷至沓来的“非预期性生成”却束手无策，缺少教育机智，以致在丰富的生成变化中迷失了方向而无可奈何地又把学生硬拉回预设。二是有的教师一味追求生成，没有预设而随意设问，“脚踏西瓜皮，滑到哪里算哪里”，“生成”出许多离题万里、毫无必要的“麻烦”，导致了教学的“停顿”、“尴尬”和失控，最终影响了教学的生成及效果。

为此，探讨高中数学生成性教学资源的内涵、挖掘以及在挖掘过程中找到预设与生成的平衡点就具有十分重要的意义。

一、高中数学生成性教学资源的内涵

1.对生成性资源的认识

生成，一般来说是指起源、创始、创造、产生和发生，就是“在新的情境中产生”。本文中的生成，是指在教学实践中，因学情的变化，对预设的教学目标、内容、过程、方法的调整，以及教师在教学过程中产生的教学机智与合理调控。生成性资源，是指课堂教学中通过互动、对话、情境设置、教与学等活动即时产生的超出预先设计的问题。课堂生成性教学是指在弹性预设的前提下，在教学的开展过程中由教师和学生根据不同的教学情境，自主构建教学活动的过程。“意外”“节外生枝”“捕捉”“灵光乍现”是生成性教学资源的关键词。“意外”主要有两种类型：一种是客观突发事件，如教学环境的改变、教学参与主体的变化、教学场的外在嵌入；一种是主观预设之外又是情理之中的突发情况，如学生的突发奇问、教师讲授的卡壳现象等。大部分“意外”属于后一种类型。当教学不再按照预设展开时，教师将面临严峻考验和艰难抉择，这就要求教师既具有预设的目标意识，又具有生成的机智意识。应当指出，学生在教学中产生某种顿悟但没有引起教师的足够重视，或师生进行不着边际的无意义互动，这些都不属于生成。

2.高中数学生成性教学资源的常见来源

数学课堂教学中生成性资源的常见来源：学生练习中的问题与错误；学生回答中的“节外生枝”；教师在教学过程中迸发的思维火花和教学机智；学生讨论中的分歧。只有教师敢于运用非预设教学资源，打破课前教学设计的框框，踏着学生思维发展的步伐，诱导学生的思维朝更高的方向发展，真正做到“创造性地使用教材”，生成性教学资源的来源才更为丰富。

3.高中数学生成性教学资源的特点

（1）创造性。在教学中，教材是范例，教学活动是过程，二者是预设的，但不是不变的。正如著名的教育家叶澜所说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。数学课堂中的生成性资源的产生源于创造。

（2）突发性。课堂教学中的生成性资源有时是学生和教师在活动过程中“灵机一动，计上心来”的结果，带有突发性。但是这并不是说，课堂教学中为了有效利用生成性资源，而完全不预设。科学的预设还是必不可少的，教师只有深入地备课，才能对生成的信息作快速的判断与取舍，才能把所需要的纳入到准备的“预案”中，与已有的知识建立联系。正如歌德所说：“我能看到什么，取决于我已经知道什么。”

（3）可挖掘性。使用任何一套教材进行教学都需要师生去挖掘、去创造性地使用，才能激活课堂中的教与学。

（4）不确定性。课堂上生成的资源具有不确定性，这种不确定性可能体现在教育价值的不同，有时还可能产生负面的教育效应。

（5）再生性。教学资源既包括教学物质资源，也包括教学人力资源。生成性资源属于后者。人力资源的显著特点是具有再生性，可进行循环开发和利用。生成性资源也是一种取之不尽、用之不竭的可再生性资源。

4.高中数学生成性教学资源的作用

（1）对教师预设的教学设计的完善。学生是一个个活生生的生命体，他们的家庭背景、生活环境、生活经历等都是不同的，因此他们的心理世界、思考角度、思维方式与水平也是不一样的。对于同一件事物，不同的学生会有不同的看法。所以在课前，虽然老师已经有了科学的预设、理性的思考、精心的安排，深入地备知识的内涵与外延，备学生已有的经验，备课堂教学中可能出现的问题，但对于所有学生可能出现的想法与教学过程中可能出现的问题还是无法一一预设出来的，学生的回答不时会偏离了设计的初衷，而这些意外正是完善教学设计的重要途径，是“教学相长”的体现。

（2）引起学生对问题的讨论与思考。学生之间的差异、教学中的偶发事件，乃至教师教学设计中的失误、灵机一动等，如果能被教师及时地抓住并恰当地进行引导、挖掘、升华，都会为课堂教学带来新的生机与可能，都可能成为有利于学生成长的课堂教学的闪光点，这样的教学对学生今后的发展具有积极的作用。

二、高中数学生成性教学资源的挖掘

研究中我们发现，有了充分的预设，课堂的“生成点”是有迹可循的，我们可以充分挖掘。“生成点”主要出现在以下教学环节中。

1.在学生的问题与错误中生成

数学课堂教学不仅仅是告诉，更需要经历。真正关注学生学习的过程，就要有效利用学生的错误资源，教师要乐于向学生提供充分研究的机会，帮助他们真正理解和掌握数学思想和方法，获得更加广泛的数学活动经验。

例1：已知函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R，求实数a的取值范围。

师：函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R，要满足什么条件呢？

生众：满足x2+ax-a>0。

师：满足x2+ax-a>0的条件又是什么？

生众：△<0。

师：由△<0，即△=a2-4（-a）<0?-4

当a∈（-4，0）能保证函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R吗？（让学生思考）我们不妨取a=-2，则

f（x）=log2（x2+ax-a）=log2（x2-2x+2）

=log2[（x-1）2+1]log21=0，

此时函数f（x）的值域不是R，所以解答有误。问题出在哪里？（学生睁大眼睛听老师分析。）

师：正确的解法是因为值域为R，所以x2+ax-a必须能取到一切正数，故有△=a2-4（-a）0?a≤-4或a0。

生1：△0不正是x2+ax-a取到非正数吗？没有意义啊！

师：是的，但取到的非正数x不是我们需要的，这可以由x的范围来限制。例如，取a=-4，则f（x）=log2（x-2）2，定义域x2≠2就可保证f（x）值域为R了！也就是说当△0时，能保证x2+ax-a→0，结合对数函数的图像知f（x）的值域能取到一切R。

如果这样仍不能理解，我们还可以用方程的观点来解：原函数的值域为R，就是指关于x的方程f（x）=log2（x2+ax-a）=y对任意实数y都有实数解。

x2+ax-a=2y恒有实数解?△=a2+4（a+2y）0对y∈R恒成立?a2+4a-4·2y对一切y∈R恒成立。

又-4·2y<0，∴a2+4a0?a≤-4或a0。

故a的取值范围是（-∞，-4]U[0，+∞）。

数学的学习过程是一个再创造的过程，也是试错和不断改正错误的过程，教师顺着学生的错误理解解下去，再验证结果不对，进而找到正确的解法，生成有价值的认识，这本身就是一种很好的教学资源。

2.在创造中生成

培养学生的实践精神和创新能力，是基础教育课程改革的主要目标。课堂教学如果能为学生提供创造的机会，无疑是很好的教学资源“生成点”。记得笔者在讲解一道习题时，曾出现一个精彩的片段。

例2：函数y=3sin（x+20°）+5sin（x+80°）的最大值是（ ）。

A.5 B.6 C.7 D.8

笔者按常规思路讲解：把x+80°化成（x+20°）+60°，再把sin（（x+20°）+60°）按公式展开，结合前面的式子化成一个角的三角函数，即可求解。当然，也可以把x+20°化成x+80°-60°（解题过程略）。

笔者讲完后，一位学生迫不及待地说：“老师，有更简单的解法。”

“说吧。”笔者鼓励道。

学生兴奋地回答：∵x+20°与x+80°不可能同时取到k·360°+90°，K∈Z，∴最大值不可能是8，排除选项D。

又∵当x=10°时，y=+5=6，大于A、B选项的值，故可排除A、B，选C。

学生刚说完，热烈的掌声就响起来了，无疑，学生们在欣赏这个简洁的、富有创造性的解法。当然，这位学生能想到这样的方法，是因为在之前的教学中笔者曾介绍过解答选择题的估算法，可以说，学生的精彩生成是教师教学思想的延续，是师生共同建构的结果。

3.在适度拓展中生成

数学课程应当开放并充满活力，这就要求教师拓宽数学教学和运用的领域，使学生在不同内容、方法的相互交叉、渗透、整合中开阔视野，提升数学素养。显然，教师在教学过程中迸发的思维火花和教学机智也是一种生成。

有一道流传甚广的三角不等式问题。

例3：已知0

2010年，例3成为北京大学、香港大学、北京航空航天大学3校联合自主招生考试试题。作为例题，一般教师给学生讲两种解法：一是构造函数法，利用导数证得结果；二是三角函数线法。

问题讲解到此似乎该结束了，但笔者的脑海里闪过一个念头：这不正是渗透特殊与一般思想的好时机吗？于是笔者将题干求证部分改为“求证：sinx<

学生很容易理解：上述命题要转化为一般性命题方可证明：若01+2.1。在02x。

如此生成，既有知识，又有方法，还有智慧，学生终身难忘。

4.在尝试和探究的活动中生成

在尝试和探究性学习中，由于结论不是现成的，学生会有多种思路、多种方法，往往也会产生不同的结果——有些正确，有些错误。锄去“杂草”，让“庄稼”生成，课改的田野才会郁郁葱葱。

如在讲“椭圆的定义”一节时，笔者做了这样的演示实验。先将细绳两端重合，把粉笔套在其间在黑板上画了一个图形，学生马上指出这是一个圆，然后再将两端分开，固定在黑板上，把粉笔套在其间画了一个图形，并向学生说明这种曲线叫椭圆。然后让学生根据操作过程，相互讨论，让学生探究怎样的图形叫椭圆。学生甲：到两定点距离之和等于定长的点的轨迹叫椭圆。根据甲的叙述，我便将细线拉直将两端固定在黑板上，粉笔仍然套在线上运动，便画出了一条线段。学生乙提出定长必须大于两定点之间的距离。教师问这样下定义是否严密完整？这样学生便又提出“在同一平面内”这样的条件。最后探究出椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这里，有实验有辨误，有限制条件的理解，对椭圆定义的认识是比较到位的，也是比较深刻的。

5.在偶发中生成

课堂上有时会发生一些偶发事件。这种偶发事件有的与数学教学有关，有的与数学教学无关，与数学教学有关的，可以直接利用，与数学教学无关的，可进行其他方面的教育。变偶发事件为教育良机，也是教育教学的生长点。

例4：一位教师准备给学生上“简单随机抽样”（人教版高中“数学3”）一课，课前，他接到学校通知：要求每班选派5名学生代表参加下午学校举行的学生座谈会。

师：今天下午学校要召开学生座谈会，要我们班选出5名代表参会，学校为什么不让大家都参加呀？

生众：人数太多，座谈不方便。

师：让我们班选派5名代表参加座谈会，这实际上是使用了统计学上的什么方法？

生1：用样本估计总体。

师：样本和总体分别指什么？

生1：我们班的全体同学就是总体，被选派的5名学生就是在我们班这个总体中抽取的样本。

师：既然这里用了统计学的方法，那怎样从我们班选出5名代表比较合适呢？

生2：这好办，为每人准备一张纸条，上面写上每个人的名字，随便抽5张就行了。

大部分学生点头表示赞同。

生3：采用类似于击鼓传花的方式，花落在谁手里就选谁。

生4：教室里有滚动数字的机器就好了，就像抽奖，喊停时显示学号。

学生都笑了，课堂气氛顿时被调动起来。

教师在此基础上，引导学生通过分析、讨论，很自然地得出“简单随机抽样”的一种方法——抽签法及其操作步骤。

显然，这位教师是善于捕捉“意外”“偶然”的高手，他以刚刚发生的现实事件为素材，创设与课堂内容相适应的教学情境，生成生动有趣的教学资源，促进了学生对知识的理解与掌握。

总之，课堂中的生成既没有固定的、现成的目标，也没有刻板的模式。课堂上生成性资源的挖掘与运用取决于教师的专业知识与教学素养。科学的预设与有效的生成是相互依存的，因此教师只有提高自身的专业素质，才能对生成性资源及时地捕捉、恰当地判断、合理地选择与有效地运用。