“过程→生成”理念下的直线与圆位置关系的教学设计

2013-04-29王积社张君敏

考试周刊 2013年70期

王积社　张君敏

摘要： “过程→生成”教学理念认为：教学要向学生展现“有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程”，基于“过程→生成”教学理念，给出了圆与直线位置关系的教学设计.

关键词： “过程→生成”教学理念圆与直线的位置关系教学设计

阅读《人民日报》文章《“留学赤字”呼唤教育改革》一文，思绪难禁：新一轮教育改革已过十年，何须一再唤？十来岁的孩子海外夏令营后就坚决要求出国留学，岂不为怪？可见我国的教育改革成效如何？我国的教育使孩子们感受到了什么？曾听朋友说，其9岁的孙女每晚做作业到伏案而眠。因此我们必须实实在在地反思我们的教育：社会对教育的影响，教育体制的弊端，“注入→题海”式教学方法的危害.因此，笔者力荐“过程→生成”教学理念，意在改变“注入→题海”式的教学理念及方法.

1.“过程→生成”教学理念

1.1基本观点

观点一：有人说我国的教育是“基础有余、创新缺乏”，所以必须以抓创新来弥补不足.但笔者认为我国教育不是“基础有余”，而是“基础无力”，因为“注入→题海”式的教学只是使学生机械地记忆、呆滞地解题，结果是根系浅弱、活力不足，在此基础上不可能迸发出创新的萌芽.所以我们决不应自持“基础有余”而得意忘形，而必须以“夯实基础，力求创新”为目标而努力奋斗.如何夯实基础？应该让学生通过知其所以然而达到知其然，这里的“知其然”并非只是简单地知道“因为……所以……”，而应是理解知识的来龙去脉；如何力求创新，应该使学生在所有的学习过程中始终感受或亲历知识的创生过程.

观点二：大都说应试是教学改革的瓶颈，但笔者认为教学改革的障碍并非为应试，而是传统的观念与方法.首先，审度古今中外、展望过去未来，不难明白一个道理：社会需要人才→人才需要选拔→选拔难免考试→考试必有应试→应试需要教育，所以考试是必需的，应试不仅合法而且是教育的职责.其次，无论面对何种方式的考试，“注入→题海”式应试绝非是灵丹妙药，尤其在21世纪，押宝式的“注入→题海”教学更难应对素质与能力的测试.例如2013年××省普通高中教师职务培训中，就有教师说：“现在的考试很喜欢给出一个新的定义，让学生在阅读后根据定义开始做题，然而看似简单的题目就是做不好”，为何？值得深思.所以从应试来看也必须弃绝传统观念，建立适合素质与能力培养的教学理念与方法.

观点三：十多年来，我国“创新型”教学研究论文多达数十万篇，然而“注入式”教学却愈演愈烈，那么为何“创新型”难以践行？不难发现：传统观念的禁锢造成了认识上的困难，学习内容并非都能由学生自主探究而得造成了操作上的困难，课时的不足、班容量过大造成了落实上的困难，等等.诸多困难下，不继续注入式的讲授又能如何？因此就形成研究归研究、教学归教学、“公开穿新鞋，关门走老路”的恶性循环，说好点也无非是“十寒一曝”（“十次注入式讲授”+“一次新型教法”）.所以教学改革的当务之急是建立适应素质与能力培养的基本教学理念，以如此理念的讲授法为基础而力求践行新型教法，使学生的学习始终沉浸在良好的学习环境中.“过程→生成”教学理念就是面向素质与能力培养的基本教学理念.

1.2“过程→生成”教学理念

“过程→生成”教学理念：知识不是静态的文本，而是其生成过程.所以“教”就应该模拟、展现知识的生成过程，“学”就应该感受、理解知识的生成过程，二者统一在有价值、有思想、有活力、顺应学生思维与教育规律的知识生成过程中.于是：教学过程=学习过程=知识生成过程.

“过程→生成”教学，就是在“过程→生成”教学理念指导下，以夯实基础、力求创新为目标，向学生展现“有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程”.如何展现，既可讲授（“过程→生成”讲授法），更可施以各种新型教法.

“过程→生成”教学的一般框架：首先以具有整体性、连续性、活力性的过程而生成本单元的基本知识；其次在基本知识的基础上以适当的方法展开研究或练习，从而获得本单元的所有知识与方法；最后形成本单元的知识结构.

“过程→生成”理念的价值取向：期望通过良好的知识生成过程的熏陶使学生步入有思想、会思维、明事理、敢创造的境界；期望以此建立良好的讲授基础而和谐地融入各种新型教法，从而为学生营造良好的学习环境，达到夯实基础、力求创新的目的.过程是为了基础，生成是为了创新.

简言之：教学教什么？教思维，教过程.教具有整体性、连续性、生成性的思维过程.

2.基于“过程→生成”理念的教学设计

2.1设计说明

当前教育改革中，一种被认为优秀的“情景，定义→性质→定理→例题，解答情景问题”数学教学方式在各种“公开场合”下广泛流行，但殊不知其乃是传统的“定义→性质→定理→例题”模式在改革形势下的伪装.例如，2013年XX省普通高中教师职务（网络）培训所提供给学员的学习资料中，就有这样一个教学视频，其内容是“圆与直线的位置关系”，其过程如下：①提出轮船是否受台风影响问题；②回顾初三学过的直线与圆的位置关系的判定方法，直接称其“为几何法”→提出用圆与直线的公共点的个数判定位置关系的方法，直接称其“定义法”→做练习；③解决开始的台风问题.整个过程都是注入式的，如：不注重问题解决的过程、不注重诱导启发、不关注学生的思维、全程直接式提问，等等，然而参训学员却对此予高度评价.如此视频及评价充分表现出当前的教学改革中存在的严重问题.

针对如此教法，本文基于“过程→生成”理念，也给出“直线与圆的位置关系”的教学设计，期望鉴别讨论.本文的设计思路如下：提出“台风问题”解决“台风问题”且获得判定直线与圆位置关系的方法拓展“台风问题”→基本练习：先以教材例题1的条件给出一个基本的判定练习，再以“一题多变”的思维将基本练习变化到教材中的例题1在研究性过程中引入了教材中的例题2→小结.

准确地说本设计并非是具体的教学方案，而只是给出了一种供参考的知识生成过程，至于教学中如何实现，应该根据具体情况、酌情选择教法：讲授式、开放式、探究式均可.

2.2具体设计

（1）问题提出：一艘轮船在沿直线返回港口的途中接到台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受台风影响区域的最大半径是47.9km.已知港口位于台风中心正北60km处，因此需要决断：轮船是否可以不改变航线继续返航？

（2）问题解决：

①建模

师：谁能帮助船长做出决定？（若无人回答则继续提问）做决定的依据是什么？

生：轮船航线是否穿过台风影响区域.

师：那么谁能说出轮船航线是否穿过台风区域呢？（若无人回答则继续提问），能看出来吗？能测量出来吗？（这里设计系列提问，通过诸多的“不能”使学生认识建立几何模型的重要意义.需要说明的是：“过程→生成”教学要求，提问尽量不用“直接式”且要注重挑战性与幽默性，提问要注重语气、语调与节奏，以达到激发兴趣，引起共鸣的效果.如采用讲授方式，则更要注意表述思维过程的语言艺术.）

生：不能.

师：为何不能？

生：距离太远.

师：那怎么办？谁有对付“距离太远”的妙招？……（若无人回答，则自言自语）偌大的战场，如何指挥战斗呢？（如果时间允许，介绍欧拉解决“七桥问题”的建模思想则更好.）

生：哦……地图.

师：有办法了？

生：有啦，图，画一个图帮助我们判断.

师：好，行动.

酌情选择教法，分析问题条件，参照地图知识，确定方向距离与作图比例，建立图1所示的模型图.在这里，作图要尽可能精确，因为问题的圆心到直线的距离与圆的半径相差不大（这是特意设计的），于是即便是尽可能精确而做出的图形，仅仅目测很难区分出是相交、相离，还是相切，这即是所要达到的效果，期望以此效果使学生不得不考虑寻找精确计算的方法，以此效果使学生认识到坐标方法的重要意义，以此效果使学生进一步认识到精确的图形能够帮助我们形成较好的直觉思维，但是也会产生错觉.所以画图最好是先作图分析，然后用PPT或挂图展示图形.

②分析

师：图画好啦，大家能看出什么？从图上看，判断轮船航线是否穿过台风区域就是要判断什么？

生：直线与是否相交.

师：那么，谁能说出是否相交呢？

组织学生充分发言讨论：可能有的说相交，有的说相切，有的说相离，面对各种回答，教师要酌情“反驳”，使学生认识到：直觉，是必要的，但未必正确.于是就围绕“看不出来，怎么办”的问题讨论，使得到“必须精确计算”的共识.接着讨论“怎么计算”的问题，诱导学生想起初中学过的知识：

相交？圳两个交点？圳dr.

在这里说明两点：一是有意识地先写“交点”后写“d、r”，是因为交点的计算必须使用坐标方法而首先突出坐标思想.二是“过程→生成”理念认为：对于问题研究中所需要的“旧”知识，绝不在研究伊始“温故”，而要在研究过程中根据问题解决的需要而“温故”；如若是从已有知识中去发现新知识，那么应该在研究的开始“温”出相关的“故”，但研究过程中所需要的“故”仍应在研究过程中“温”.这才是“温故知新”在素质与能力培养中的妙用.

师：这就是说判定AB与⊙O的位置关系可以有“计算AB与⊙O交点的个数”与“比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小”两种方法.好，为了说话方便，我们给它们起个名字，叫什么好呢？（经商量，叫“交点法”与“距离法”.）下面就分别试用交点法与距离解决问题.

③解决

师：先试用交点法.请大家想一下如何计算“AB与⊙O有几个交点”.

组织讨论，达成共识：确定AB与⊙O的交点，就是要标定AB与⊙O在平面上的交点的位置，而做到这一点最好方法就是建立平面直角坐标系，把AB与⊙O放在同一个坐标系中进行计算.进而类比求“两条直线交点”的方法易知：计算AB与⊙O的交点，需要先求出AB与⊙O的方程，再联立求解即可.因此首要问题就是建立坐标系.

师：谁能建立坐标系？（如何建立坐标系非常重要，组织讨论：首先确定坐标原点的位置，任意取行不行？——行！但是好不好？——不好！那么特殊点取在哪？——问题的特殊点，问题中有几个特殊点？取哪一个较好？等等.直到达成共识：取在台风中心，因为台风的影响区域是圆，而圆方程相对复杂，所以以圆心为原点建立坐标系会比较方便；其次是确定方向，这个非常清楚；再次是确定单位长，单位长度可灵活确定，因为问题中的数据比较大，所以取10km为单位长.这样即可建立图2所示的坐标模型图.）

师：现在就请大家计算.

可能有两种计算方法，一种是根据的值进行判断，另一种是要求出具体的交点.但因为问题中个别数据较大，所以后者必然浪费时间.因此当使用第一种方法的同学计算完毕后就让学生都停止计算，检查并进行算法优劣比较，使明白一个道理：若仅判断位置关系，只要计算即可；若需要求出交点，当然需求出方程组的所有解.最后总结出判定方法：

相交？圳△>0；相切？圳△=0；相离？圳△<0.

因为：

所以直线与相离，即轮船可以不改变航线继续返航.（给出一种规范的解答，强调解题的语言及格式，培养学生的数学语言表达能力.）

师：那么，距离法行不行呢？

组织讨论：距离法需要d与r，而问题中是已知的，故只要算d即可.如何计算可能有两种思路，一种是在坐标系中使用点到直线的距离公式计算，另一种是因为d是点O到直角三角形OAB斜边AB的距离，所以可用直角三角形的线段关系计算.鉴于时间关系及教学的基本要求，可将第二种留给学生思考解决.

师：先用距离公式计算d.（请学生做）

解：以台风中心为原点、10千米为单位长度建立如图2所示的平面直角坐标系.显然直线AB的方程为x/8+y/6=1，整理得3x+4y-24=0，所以，点O到AB的距离

所以圆心到的距离为d=4.8×10=48千米，而⊙O的半径r=47<48=d，故AB与⊙O相离，因此轮船预定航线不会受到台风的影响.（同样展示一种规范的解答）

师：如何用直角三角形法计算d，请大家课后做.

参考思路：根据三角形面积公式易知d·AB=OA·OB，这样极易解决问题.此法是解决问题最简方法，是学生在初中阶段就熟练掌握的，高中生基本上可口算出来.

（3）问题拓展：此节可作为学生的课后研究问题，可要求成绩较好的学生课后必做.

思考：实际生活中，上述问题会有什么变化？台风是静止不动的吗？……

组织讨论，达成共识：一般地说，台风的作用区域会随时间的变化而不断变化，那么此种情况下轮船是否受台风的影响又与轮船的速度有关.因此会有这样的问题：一艘轮船以每小时16的速度沿直线返回港口，途中接到台风预报：台风中心位于轮船正西80公里处，受其影响的初始区域是以台风中心为圆心、半径为7公里的圆形区域，并且圆形区域的半径正以每小时10公里的速度扩大.已知港口位于台风中心正北60公里处，那么如果轮船按原定航线继续前进，是否受到台风影响？假如不受到台风影响，那么轮船距离台风影响的圆形区域的边缘最近距离是多少？

参考思路：问题解决的依据仍然是直线与圆的位置关系，不过此问题的难点是台风的作用域是随时间而变化的，因此可画出图3所示的模型图，其中台风作用域的半径r（t）是时间t的函数，由图可见解决问题的关键是确定当轮船航行到D点时r（t）的值，为此也就需要知道轮船航行到D点时所需要的时间，而的长度/16，但△OAD中OA是已知的，所以只要求出O到AB的距离d，问题就迎刃而解了.

参考解答：同上可求出d=48，所以公里，于是轮船从A到D需要16=4小时，所以当轮船行驶到时，台风的作用半径为公里，因此轮船按预定航线行驶不会受到台风影响，并且轮船的航线距离台风作用域的最近距离为48-47=1公里.

（4）基本练习：

例1：已知直线L：3x+y-6=0与⊙C：，判断L与⊙C的位置关系.

参考思路：如使用距离法，那么因为需要圆心与半径，所以应该把圆的方程化为标准式；如用交点法，那么直接联立方程即可.

师：请大家想一下，在例1的条件下，还可以考虑计算什么问题？

组织大家讨论，必要时提出一个问题：“探险队需沿某直线方向穿过一块圆形沼泽地，假如你是队员之一，那么你最关心的是什么？”（期望结果是：最关心在沼泽地中走多远，这也就是求弦长问题），也就是例1可以进一步变化为：

例2：判断直线L：3x+y-6=0与⊙C：的位置关系，若相交，则求出交点的坐标及由其产生的弦的长度；若相切，则求切点的坐标.

请学生口述自己的解题思路，看谁的方法最简.

参考思路：此问题只是比例1多了点要求——求交点及弦长，但因为求弦长必须知道交点，所以选用交点法可一举两得.

（5）深入研究：

至此，我们能够做到

对于给定的直线与圆它们是相交、相切、还是相离，并且相交时能够求出其交点，相切时能够求出其切点，此结果已经完整了.不过能否反过来思考问题呢？谁来说说？——期望结果：