函数y=Asin（ωx+φ）教学初探

蒋春光

在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=ASin（ωx+φ）的函数解析式（其中A、ω、φ都是常数）。例如，物体做简谐振动时位移s与时间t的关系，交流电中电流i与时间t的关系等，都可以表示成这类函数。教学大纲与考试说明对函数y=ASin（ωx+φ）的教学与考查提出了具体要求：一是要求函数y=ASin（ωx+φ）的周期，或经过简单的恒等变形可化为上述函数的周期；二是会用五点法画函数y=ASin（ωx+φ）的简图。这就充分说明了函数y=ASin（ωx+φ）在中学数学中有着重要的地位。笔者根据自己的教学实践，对函数y=ASin（ωx+φ）的教学中应该注意的若干问题作了些探讨。

一、立足于函数y=（ωx+φ）的简图的作法，强化基础知识的教学。

关于函数y=（ωx+φ）简图的作法。教材给出四道例题，例题是循序渐进式的，是教学的重点。然后，由特殊到一般地归纳出了函数y=ASin（ωx+φ）的图象与函数y=ASinx、y=ASinωx、y=ASin（ωx+φ）的关系。

绘制出函数y=ASin（ωx+φ）的简图，教材中介绍了两种方法：一是“五点法”，二是图象变换法。两种方法是教材提出的基本要求五点法是画草图的具体操作而变换法才是基础目的。

1：“五点法”，即函数的一个周期内的五个最具特征的五个点即（0，0）（ ，1）（ ，0）（ ，-1）（2 ，0）

“五点法”是作函数y=ASin（ωx+φ）的简图最有效的方法之一，学生掌握起来并不困难，在教学中，可以充分运用教材上的四道例题，向学生讲清楚在一个周期内起关键作用的五个点。

2：运用图象变换的方法也可以作出y=ASin（ωx+φ）的简图，但在实际的教学中实施起来并不容易，课本介绍变换法的目的是在于揭示各种正弦图象间的内在联系，而并不是用变换法来作图，教学的重点在于帮助学生掌握振幅（A）变换、周期（T）变换。相位（φ）变换、上下平移变换的基本规律，并清楚各种不同的正弦型函数的图象间的关系。

与五点法相比较，学生对于图象变换法的掌握就显得不那么容易了，教材中首先通过三个例子介绍了y=ASinx、y=ASinωx和y=ASin（ωx+φ）这三类函数图象的作法，并把他们的图函与y=ASinx的图象作比较，指出这三个图象可以通过y=Sinx分别作振幅变换、周期变换和相位变换而得到，然后在此基础上讨论一般的正弦函数y=ASin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象的作法（例三）。

二、注重数学思想方法的渗透与提炼，优化学生的思维品质

数学思想是数学研究活动中解决问题的根本方法，是对数学规律理性认识，是数学的灵魂。函数y=ASin（ωx+φ）这一节教材，原有丰富的思想方法的内容，教学过程中，注意认真地挖掘与提炼，对开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，具有十分重要的意义。

1：提炼特殊到一般的思想方法，培养学生的抽象思维能力。

教材中关于函数图象的振幅、周期、相位等变换，都是通过对特殊例题的研究，再抽象概括出一般的结论。教学时，应充分注意引导学生去发现/归纳和抽象，防止因教师包办而失去培养学生思维品质的良机。

2：挖掘数形结合的思想方法，培养学生的形象思维能力。

数形结合的思想方法，在中学教学中有着十分重要的地位，函数y=ASin（ωx+φ）的图象直观而形象地显示了函数y=ASin（ωx+φ）的有关性质，借助图象，则能迅速，简捷地求解与y=ASin（ωx+φ）有关的函数的值域（最值）、周期、单调性，对称轴方程等，教学过程中，必须选编一些难易适度的习题，引导学生进行运用图象解题的训练提高学生运用图象解题的能力。

3：渗透等价转化的基本思想方法，培养学生的逻辑思维能力。

等价转化是数学中最基本和最常用的方法，进行函数y=ASin（ωx+φ）的教学，特别是在学期复习时，要善于引导学生将某些复杂的三角函数式等价地转换为y=ASin（ωx+φ）的形式，再借助其图象与性质，研究其解法，这样有利用综合复习，又可以有效地提高学生的逻辑思维能力。

例一、已知函数y=（x）=3Sinxωsx-5 cos + （x R）

求函数的振幅，最小正周期，单调增区间，对称轴方程。分析：利用三角公式，将已知函数式恒等变形，得，y=5Sin（2x- ）问题就转化为函数y=ASin（ωx+φ）的性质研究，问题便不攻自破。

例二、求函数y=3Sin（x+20）+5Sin（x+80）的最值。

分析：利用两角和的正弦公式，将所有给函数式变形

y=3Sin（x+20）+5Sin{（x+20）+60}

= Sin（x+20）+ cos（x+20）

=7Sin（x+20+φ） 其中tgφ=

Ymax=7，Ymin=-7

经常有意识地进行类似的等价转换的训练，对于增强学生的化意识是大有好处的。

4：揭示正难则反的思想方法，培养学生的逆向思维能力。

与作函数y=ASin（ωx+φ）的简图的思维过程相反的一类问题是由y=ASin（ωx+φ）的简图或由已知函数的变换关系确定其解析式。这是进行逆向思维训练的极好题材，课本上缺少这样的例题，而在各级各类考试中常常出现，所以应加强这方面的训练。

例三、已知函数y=ASin（ωx+φ），（A>0，ω>0）

若在同一周期内，当x= 时，y有最大值2，当x= 时，y有最小值-2，求这个函数解析式

通过这样的练习，不但可以加深学生对“五点法”的本质和图象变换规律的认识，而且可以提高学生分析问题的能力，为今后的进一步学习奠定坚实的基础。

三、加强应用意识，努力提高学生的数学素质。

开展应用的教学，培养学生的应用意识，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，是实现应试教育向素质教育转变的重要举措同，而立足教材，联系实际，则是开展教学数学实际应用教学的有效途径。围绕函数y=ASin（ωx+φ）现行教材中编写了三道与物理学想互联系的实际应用题，这三道题的安排可以说是匠心铁独运的。笔者在该教学内容上以这三道题为核心，组织了一堂数学应用的活动课，使学生充分认识到数学知识在其他学科及生产实际、科学技术等方面的广泛应用，极大地提高了学生学习数学知识的积极性取得了较好的教学效果。

总之，在函数y=ASin（ωx+φ）的教学中我们应本着“立足教材，深化知识，提炼方法，培养能力，提高素质”的原则。精心挖掘教材的潜力，努力创设问题的背景，引导学生全方位，多角度地认识、深化，使用函数y=ASin（ωx+φ）的图象和性质。充分发挥函数y=ASin（ωx+φ）的潜在教育功能，提高其教学价值，使我们的教学收到事半功倍的效果。