平面向量·定理及坐标运算

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 若[e1]，[e2]是平面内的一组基底，则以下的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）

A. [e1]，[2e2] B. [e1]，[e1]-[e2]

C. [-e1]+[e2]，[e1]-[e2] D. [e1]+[e2]，[e1]-[e2]

2. 设[a=（2，3）]，[a]在[b]方向上的投影为[3，][b]在[x]轴上的投影为1，则[b=]（ ）

A. [（1，512）] B. [（-1，512）]

C. [（1，-512）] D. [（-1，-512）]

3. 若非零向量[a，b]满足[a=b]，且[（2a+b）?b][=0]，则向量[a，b]的夹角为（ ）

A.[120?] B. [30?] C. [60?] D. [150?]

4. 在边长为[1]的菱形[ABCD]中，[∠BAD=60?]，[E]是[BC]的中点，则[AC?AE=]（ ）

A. [3+33] B. [92]

C. [3] D. [94]

5. 对任意两个非零的平面向量[α]和[β]，定义[α?β=α?ββ2]；若平面向量[a，b]满足[a≥b>0]，[a]与[b]的夹角[θ∈（0，π4）]，且[a?b]，[b?a]都在集合[n2n∈Z]中，则[a?b=]（ ）

A. [52] B. [32]

C. [1] D. [12]

6. 已知向量[a=（cosθ，sinθ），b=（cosφ，sinφ）]，若[θ-φ=π3]，则向量[a]与向量[a+b]的夹角是（ ）

A. [60?] B. [30?] C. [150?] D. [120?]

7. 已知[A，B，C]是平面上不共线的三点，[O]为平面[ABC]内任一点，动点[P]满足等式：[OP=13[（1-λ）OA+（1-λ）OB+（1+2λ）OC]] （[λ∈R]且[λ≠0]），则点[P]的轨迹一定通过[ΔABC]的（ ）

A. 内心 B. 垂心

C. 外心 D. 重心

8. 点[O]是锐角[ΔABC]外接圆圆心， [∠A=θ，]若[cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，] 则[m=]（ ）

A. [sinθ] B. [cosθ]

C. [tanθ] D. 不能确定

9. 在[ΔABC]中，点[D]在[AB]上，[CD]平分[∠ACB]. 若[CB=a，CA=b，a=1，b=2]，则[CD=]（ ）

A. [13a+23b] B. [23a+13b]

C. [35a+45b] D. [45a+35b]

10. 已知[C]为线段[AB]上一点，[P]为直线[AB]外一点，满足[|PA|-|PB|=2，|PA-PB|=25]，[PA?PCPA=][PB?PCPB]，点[I]在[PC]上，且[BI=BA+λ（AC|AC|+AP|AP|）][（λ>0）]，则[BI?BABA]的值为（ ）

A. [5] B. [2]

C. [5-1] D. [0]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知两非零向量[a，b]满足[a=2，][a-b][=1]，则向量[a，b]夹角的最大值是 .

12. 已知[a=（m，5+m），b=（n，3+n）]，则[a+b]的最小值为 .

13. 已知同一平面上的向量[PA，PB，AQ，BQ]满足如下条件：①[|PA+PB|=|AB|=2]； ②[（AB|AB|+AQ|AQ|）?BQ=0]； ③[|AB+AQ|=|AB-AQ|].则[|PQ|]的最大值与最小值之差是 .

14. 在四边形[ABCD]中，[AB=DC=（1，1）]，[1BABA+1BCBC=3BDBD]，则该四边形的面积为 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）在[ΔABC]中，点[M]是[BC]的中点，点[N]在边[AC]上，且[AN=2NC，AM]与[BN]相交于点[P]，求[AP∶PM]的值.

16. （10分）在[ΔOAB]中，[OC=14OA，OD][=12OB，][AD]与[BC]交于点[M]，设[OA=a，OB=b].

（1）以[a，b]为基底表示[OM]；

（2）过[M]作直线交[OA，OB]分别于[E，F]，若[OE=13OA，OF=λOB]，求[λ]的值.

17. （12分）[ΔABC]中，[AE=13AC，AF=14AB，][BE]交[CF]于[O]，连[AO]交[BC]于[P]，求[SΔPCE∶SΔABC]的值.

18. （12分）已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上的动点到焦点距离的最小值为[2-1]，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线[x-y+2=0]相切.

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）若过点[M（2，0）]的直线与椭圆[C]相交于[A，B]两点，[P]为椭圆上一点， 且满足：[OA+OB=tOP]（[O]为坐标原点），当[|AB|=253] 时，求实数[t]的值.