非退化二次曲线的标准方程与其切线方程的统一性

张金军

摘 要： 二次曲线是高中数学的重要内容之一，该题型的灵活性较强，大部分同学对这一问题深感头痛.所以，在高中数学教学过程中，从教师到学生，都应该以一种研究探索的精神学习这部分内容.本文对非退化二次曲线的切线问题进行了归类比较，得出了简单的公式.

关键词： 非退化二次曲线 标准方程 切线方程

高中数学中解析几何这部分内容里常有计算曲线的切线类问题，通用的方法是用代入法，即先把直线方程代入曲线方程，消去一元y后，得到关于x的一元二次方程，再利用判别式△=0确定切线斜率，展开运算.这种方法运算量相当大，很容易出错.下面对非退化二次曲线的切线问题进行归类比较，得出简单的公式，可以帮助我们轻松地解决此类问题.

1.圆的标准方程x■+y■=R■，过圆上一点P（x■，y■）的切线方程为xx■+yy■=R■.

这个结论容易证明.

证明：∵直线OP的斜率K■=■

∴过P点的切线方程为：y-y■=-■（x-x■）=-■（x-x■）

整理得xx■+yy■=R■.

圆的切线可以用求导函数的方法求斜率，但根据垂直二线的斜率积为-1，再利用过切点的半径与切线垂直这一性质，就更加容易了.

2.椭圆的标准方程为■+■=1，过椭圆上一点P（x■，y■）的切线方程我们猜想为■+■=1.

证明：曲线在第一象限部分的函数方程为y=b■

求导得：y′=-■■

过P的切线斜率为k=-■■

过P点的切线方程为：y-y■=-■■（x-x■）

又∵■+■=1

整理化简得■+■=1

和抛物线一样，椭圆在第二、三、四象限部分的函数解析式略有不同，其证明方法相同.焦点在y轴上的椭圆的标准方程为■+■=1，其切線方程为■+■=1.

3.双曲线的标准方程为■-■=1，过双曲线上一点P（x■，y■）的切线方程为■-■=1.

证明方法和椭圆的切线一样.焦点在y轴上的双曲线的标准方程为■-■=1，曲线的切线方程为■-■=1.

4.抛物线标准方程为y■=2px，过抛物线上一点P（x■，y■）的切线方程为yy■=px+px■.

证明：如图，不妨取P（x■，y■）为第一象限点

曲线在第一象限部分的函数方程为y=■x■

求导得：y′=■■x■

∴过P的切线斜率为k=■

∴过P点的切线方程为：y-y■

∴=■（x-x■）

又∵y■■=2px■

整理化简得yy■=px+px■.

这个结论是把标准方程为y■=2px化为y■=px+px之后，就容易想到了.证明中省略了对第四象限的部分，其证明方法相同.

另外，对其他几种标准方程也可以对比记忆：抛物线y■=-2px的切线为yy■=-px-px■抛物线x■=2py的切线为xx■=py+py■抛物线x■=-2py的切线为xx■=-py-py■我们可以把这一结果作为公式教给学生，在记住抛物线标准方程的基础上，这个公式很容易记住.

数学是严密的，这里曲线的标准方程和其切线方程的形式是如此的统一，如此的美丽.