对一道高考题的思考
2013-04-29刘秦
刘秦
【摘要】高中阶段提出了判别式法在判断直线和二次曲线相切的方法，但是对于两条二次曲线相切的判断却从未探讨过，本文主要是以对2011年重庆高考理科数学试卷中的第15小题的解法提出疑惑作为开始，探讨了判别式法在判断圆和抛物线相切时的误区，进而提出判断二次曲线相切的充要条件。
【关键词】圆；抛物线；相切；判别式；二次曲线
一、高考题目
在2011年重庆高考理科数学试卷中有如下题目：
15、设圆C位于抛物线 与直线 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________
解析： 。为使圆 的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线 相切，设圆 的半径为 ，则圆 的方程为 ，将其与 联立得： ，令 ，并由 ，得：
二、疑惑
上面的解答过程我们感到既陌生又熟悉，那是因为在解决直线和圆锥曲线相切问题时我们经常联立直线和圆锥曲线方程消元，再令 ，最后得到解。但是对于两条圆锥曲线相切的问题是否也可以用判别式来判定呢？答案是否定的，对于两条二次曲线相切的问题如果用判别式来判定会遇到两大难题，①联立两个圆锥曲线方程不一定能消元得到一个一元二次方程；②就算能够联立消元，判别式也不一定能判别他们相切。下面举例说明：
例1：已知抛物线方程为 ，一动圆的方程为 ，若动圆和抛物线相切，求参数 的值。
我们用判别式来试一试：
联立两曲线方程：
消掉 得：
令 得：
由判别式法我们得到参数的值为9，那么当 时两条二次曲线是否相切？两条二次曲线相切时，是否参数 只能等于9呢？我利用几何画板将参数 进行变化，让动圆从左往右移动变化，从相离到相切再到相离，发现有两个时候它们相切，相应的图像及其相应的参数值如下：
上例说明了，用判别式不一定能找完所有的参数值。
下面我们再看一个例题：
例2：已知抛物线方程为 ，一动圆的方程为 ，若动圆和抛物线相切，求参数 的值。
我们用判别式来试一试：
联立两曲线方程：
消掉 得：
令 得：
由判别式法我们得到参数的值为3，那么当 时两条二次曲线是否相切？两条二次曲线相切时，是否参数 只能等于3呢？我利用几何画板将参数 进行变化，让动圆从左往右移动变化，发现它们根本就不会相切，当 时，两图的位置关系如下：
上例说明了，当判别式为零时两曲线不一定相切。
从上面看出判别式等于零并不是二次曲线相切的充要条件，那么两条二次曲线相切的充要条件是设么呢？那首先我们得弄明白两条二次曲线相切的定义。
三、两条二次曲线相切的定义
定义：如果点 为两条曲线 和 的公共点，并且两条曲线在点 处有相同的切线，则称曲线 和 相切于点 处。
下面我们来推导上述定义的符号表达式。
（1） 点 为两条曲线 和 的公共点，即
（2） 若切线斜率存在，那么在点 处有相同切线就等价于它们有相同的斜率，即 ，但考虑到斜率不存在的情况，所以两条曲线在点 处有相同的切线等价于
综上所述，曲线 和 相切于点 处
等价于方程组 有公共解。
四、相切定义的运用
有了两条曲线相切的定义，下面我们再来解决上面例1中的问题。
例1：已知抛物线方程为 ，一动圆的方程为 ，若动圆和抛物线相切，求参数 的值。
解：设抛物线和圆相切于点 ，可得如下方程
联立解得： （舍掉）， ， ，
综上所述，当 时，圆和抛物线相切于点 ，当 时，相切于点 和
五、小结
从上面的讨论我们发现，用判别式法来判别两条二次曲线是否相切是有问题的，要解决二次曲线相切的问题，可以转化为求方程组 公共解的问题。
参考文献：
[1]《高等代数与解析几何》 西南师范大学出版社2002年9月第1版
[2]《数学分析》 高等教育出版社 2001年6月第3版
