有理数中的数学思想例析

在平时的数学学习过程中，我们不仅要牢固掌握基础的数学知识，而且还要明晰其中蕴涵的数学思想和方法.这样，可以使得我们对数学知识有更加系统、深刻的了解和认识，同时也能做到对数学知识的高瞻远瞩、综观全局.下面就和同学们一起对《有理数》一章中的数学思想进行回顾、总结.

一、分类讨论的思想

【例1】若a是有理数，|a|-a能不能是负数？为什么？

思路分析：a是有理数，.它可能是正有理数、负有理数或0，故需分a>0、a=0、a<0三种情况讨论.

解：当a>0时，|a|-a=a-a=0

当a=0时，|a|-a=0-0=0

当a<0时，|a|-a=-a-a=-2a>0

所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数.

小结：理解绝对值的意义，是解决这类题目的关键.

二、数形结合的思想

【例2】已知数轴上有两点A、B，它们分别表示互为相反数的两个数a、b（其中a>b），并且A、B两点间的距离是8，求a、b两数.

分析：根据互为相反数的几何意义，从而得出A、B两点在数轴上的位置，根据数轴上的点所表示的有理数右边的数大于左边的数，从而正确解决问题.

解：根据相反数的定义可知，因为A、B到原点的距离相等，即A、B互为相反数，它们之间的距离是8，所以A、B距原点的距离都是4，又因为a>b，所以A点在原点右侧距原点4个单位处，B点在原点左侧距原点4个单位处，所以a=4、b=-4.

点评：若此题没有指明条件是a>b，则要分两种情况进行讨论，即①a>b时，②a

【例3】有理数a、b满足a>0，b<0且|a|<|b|，用“>”将a、b、-a、-b排列起来.

分析：要比较a、b、-a、-b的大小，可以在数轴上找到表示这四个数的点的位置，因|a|<|b|，故表示数a的点到原点的距离比表示数b的点到原点的距离要近，再根据互为相反数的两个数在原点两侧，并且到原点的距离相等这一性质，在数轴上找出表示a、b、-a、-b的位置，即可知它们的大小.

解：将a、b、-a、-b在数轴上的位置表示出来（如下图所示），由图可知-b>a>-a>b.

点评：借助数轴，运用数形结合思想，使问题化难为易.

【例4】一跳蚤在一直线上从0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离0点的距离是_____个单位.

解析：将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴来表示，以0点为原点，原点向右为正方向，第1次向右跳1个单位，其位置表示的点为1；紧接着第2次向左跳2个单位，其位置表示的点为-1；第3次向右跳3个单位，其位置表示的点为2；第4次向左跳4个单位，其位置表示的点为-2，依此规律跳下去，第6次，第8次，位置的点为-3，-4，第100次跳后落下，其位置表示的点为-50，故此时落点处离0点的距离是50个单位.

小结：运用转化思想，使解题过程变得明快、简捷.

四、整体思想1.整体分组【例6】计算1-2-3+4+5-6-7+8+…+97-98-99+100

分析：看来要找规律，才好解，两个两个找，发现不了什么，再观察，发现数值的绝对值是连续整数，符号四个一组循环.把这4个一组的数作为一个整体.

解：原式=（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（97-98-99+100）=0.

2.整体换元

【例7】计算2+22+23+24+25

分析：此题一一计算也行，若整体设元，就更快了.

解：设x=2+22+23+24+25，则2 x=22+23+24+25+26，用2x-x得x=26-2=62.

分析：分子、分母的结构都一样，观察发现整体变化的倍数规律也一样.则分子、分母中能有相同的因式吗？

整体观察，全局考虑，事半功倍，何乐而不为.