一类具有4 ∶-5共振奇点的复三次Lotka-Volterra系统的可积性条件*

桑 波

(聊城大学数学科学学院，山东 聊城 252059)

当线性孤立奇点是中心时其非线性项的影响可使相图是非退化中心或是稳定焦点或不稳定焦点，这类判定问题称为中心焦点问题。自1904年Dulac研究二次系统的中心判定以来，中心焦点问题受到一些学者的广泛关注。 它对Arnold问题、可积性问题和Hilbert第十六问题后半部分的解决都具有重要意义。 Bautin完整解决了二次系统的中心焦点判定问题； Sibirskii 解决了缺少二次项的三次系统的中心判定问题；Sadovskii[1]利用Cherkas方法解决了一类可约化为Liénard系统的三次系统的中心判定问题。但对于一般三次系统及三次以上系统，目前还没有彻底的结论。

Zoladek[2]将中心问题推广到具有p:-q共振奇点的复多项式微分系统：

(1)

其中p,q∈N,(p,q)=1,x,y,t∈C, 而且

尽管对于p:-q=1:-1,p:-q=1:-2,p:-q=1:-3,p:-q=2:-3,p:-q=3:-q,p:-q=1:-q等情形下的特殊多项式系统的可积性问题，已有大量的研究成果[3-11]，但对于高次多项式系统的可积性问题，仍需作进一步研究。

1 广义奇点量算法及引理

对于系统(1)，由文[12]，可逐项确定形式幂级数

(2)

使得

(3)

其中Wn称为系统(1)在原点的第n阶广义奇点量。

下面介绍我们计算广义奇点量的方法。对(3)式中间部分合并同类项得：

Vn(xqyp)n+1+h.o.t.

其中Vn,fl,j,f(p+q)(n+1),j都是关于诸参数ak,j,bk,j和诸变量Bk,j的多项式，且关于诸变量Bk,j是线性的；h.o.t.表示次数高于(p+q)(n+1)的项。

一方面，系统(1)在原点的各阶广义奇点量都为零是系统在原点可积的充要条件；另一方面由Hilbert有限基定理，所有广义奇点量生成的有理数域上的多项式理想是有限生成的，因此可积性问题可在有限步内解决。

考虑右端函数为n次复多项式的二维微分自治系统：

(4)

定义1[12]设f(x,y)是一个m>0次多项式，如果存在多项式h(x,y), 使得

(5)

则称f=0是系统(4)的m次不变代数曲线，并称f是系统(4)的代数积分，h称为f的余因子。

引理1[12]设f1,f2,…,fm是系统(4)的m个独立的代数积分，满足

(6)

如果存在一组不全为零的复常数α1,α2,…,αm, 使得

(7)

引理2[13]系统(1)在原点可积的充要条件是该系统存在形如(2)的形式首次积分。

2 主要结果

考虑一类以原点为4 ∶-5共振奇点的复三次Lotka-Volterra系统：

(8)

通过计算，我们得到系统(8)的前8阶广义奇点量W1,W2,…,W8，其中

W2k+1=0,k=0,1,2,3;

而第4阶、第6阶、第8阶广义奇点量的项数分别多达79项，179项，319项，在此不便给出。但读者可根据上节广义奇点量的计算方法，并通过符号计算软件Maple 7以上版本编程得到这些广义奇点量。

令I8=为广义奇点量生成的多项式理想。首先我们使用符号计算软件 Singular中的命令minAssGTZ[16]得到在有限域Z32003上多项式理想I8的最小相伴素理想分别为

J1=,

J2=,

J3=,

J4=,

J5=,

J6=,

J8=

然后根据文[17]的有理重构算法，我们得到在有理数域上多项式理想I8的最小相伴素理想分别为

S1=,

S2=,

S3=,

S4=,

S5=,

S6=,

S8=

定理1 系统(8)在原点可积的必要条件是下列八组条件之一成立：

(i)b1=0;

(ii)a2=0;

(iii)a1=4/3b1;

(iv)a1=2b1,a2=6/5b2;

(v)a1=3/2b1,a2=6/5b2;

(vi)a2=-2b2,b1=7/4a1;

除条件(vii)外， 其它条件也是充分的。

证明(必要性) 只需求解多项式集G={W2,W4,W6,W8}，但由于这一过程非常复杂，我们无法在有理数域上直接给出零点分解。

(充分性)当条件(i)成立时，系统(8)化为

(9)

系统(9)以函数

为积分因子，因此系统(9)在原点可积。

当条件(ii)成立时，系统(8)化为

(10)

系统(10)以函数

为积分因子，因此系统(10)在原点可积。

当条件(iii)成立时，系统(8)化为

(11)

(12)

设v1(x)=0，通过求解递推方程并令积分常数为1可得

(13)

下面利用数学归纳法证明当n≥2时，

(14)

其中P2n+1(x)表示次数为2n+1次的多项式。

当n=2时，结论显然成立。

假设当n=k时，

(15)

其中P2k+1(x)表示次数为2k+1次的多项式。

将n=k+1和(15)式代入递推方程，我们得到

(16)

其中

2kP2k+1(x)b1(-b2+2a2)x2+

为2k+3次多项式。求解方程(16)并令积分常数为零，我们得到vk+1(x)具有如下形式

(17)

其中P2k+3(x)表示次数为2k+3次的多项式。即当n=k+1时，结论成立。

综上，系统(11)具有形式首次积分

其中P2k+1(x)为2k+1次多项式，从而由引理2，系统(11)在原点可积。

当条件(iv)成立时，系统(8)化为

(18)

同情形(iii)的证明类似，利用数学归纳法可证系统(18)具有形式首次积分

其中P2k(y)为2k次多项式，P4(y)=y4。 从而由引理2，系统(18)在原点可积。

当条件(v)成立时，系统(8)化为

(19)

同情形(iii)的证明类似，利用数学归纳法可证系统(19)具有形式首次积分

其中P2k(y)为2k次多项式 ，P4(y)=y4。从而由引理 2，系统(19)在原点可积 。

当条件(vi)成立时，系统(8)化为

(20)

同情形(iii)的证明类似，利用数学归纳法可证系统(20)具有形式首次积分

其中P4k-3(x)为4k-3次多项式，P5(x)=x5。从而由引理2，系统(20)在原点可积。

当条件(vii)成立时，系统(8)化为

(21)

对于系统(21)，我们没有找到其形式首次积分或积分因子，但通过计算可知其前30阶广义奇点量全部为零，因此我们猜想系统(21)在原点可积。

当条件(viii)成立时，系统(8)化为

(22)

系统(22)以函数

为积分因子，因此系统(22)在原点可积。

参考文献：

[1] SADOVSKII A P, SHCHEGLOVA T V. Solutions of the center focus problem for a nine-parameter cubic system [J]. Differential Equations, 2011, 47(2): 208-223.

[3] ROMANOVSKI V G, SHCHEGLOVA N L. The integrability conditions for two cubic vector fields [J].Differential Equations, 2000, 36(1): 108-112.

[5] GINÉ J, ROMANOVSKI V G. Integrability conditions for Lotka-Volterra planar complex quintic systems [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11(3): 2100-2105.

[6] LIU C J, CHEN G T, LI C Z. Integrability and linearizability of the Lotka-Volterra systems [J]. Journal of Differential Equations, 2004, 198(2): 301-320.

[8] LIU C J, CHEN G T, CHEN G R. Integrability of Lotka-Volterra type systems of degree 4 [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, 388(2): 1107-1116.

[10] CHEN X W, GINÉ J, ROMANOVSKI V G, et al. The 1:-qresonant center problem for certain cubic Lotka-Volterra systems [J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 218(23): 11620-11633.

[11] HU Z P, ROMANOVSKI V G, SHAFER D S. 1 : -3 resonant centers onC2with homogeneous cubic nonlinearities [J]. Computers and Mathematics with Applications, 2008, 56(8): 1927-1940.

[12] 刘一戎, 李继彬. 平面向量场的若干经典问题[M]. 北京:科学出版社, 2010.

[13] MATTEI J F, MOUSSU R. Holonomie et intégrates premières [J]. Ann Sci Ecole Normale Superieure, 1980, 13(4): 469-523.

[14] 杨路, 张景中, 侯晓荣. 非线性代数方程组与定理机器证明[M]. 上海:上海科技教育出版社, 1996.

[15] 刘木兰. Gröbner基理论及其应用[M]. 北京:科学出版社, 2000.

[16] ZEIDLER E, GREUEL G M, PFISTER G. A singular introduction to commutative algebra [M]. Berlin: Springer-Verlag, 2002.

[17] WANG P S, GUY M J T, DAVENPORT J H. P-adic reconstruction of rational numbers [J]. SIGSAM Bull, 1982, 16(2): 2-3.