基于分数阶PD速度控制器的永磁同步电动机控制研究*

王瑞萍，皮佑国

(1. 广州民航职业技术学院，广东 广州 510403；2. 华南理工大学自动化科学与工程学院∥自主系统与网络控制教育部重点实验室，广东 广州 510641)

PID作为一种最佳控制律在工业控制中一直占有主导地位。但如果要实现系统的高性能控制，经典的PID控制就难以达到要求的控制效果，因而高性能控制策略引起了广泛的兴趣。为提高它的控制品质，近年来，分数阶控制器的应用吸引了越来越多的关注[1- 4]。在控制领域，考虑用分数阶控制器设计整数阶对象[5]。这是基于这一事实，即对象模型可能已经作为一个传统意义上的整数阶模型被获得，想利用分数阶控制器来达到提高系统控制性能的目的。文献[3]提出的PIλDμ控制器，比经典的PID控制器具有较好的控制性能，这是因为引入了另外的两个参数μ和λ对调节系统性能起到了重要的作用。

本文的思路是：利用PIλDμ控制器具有多于传统PID控制器两个自由度μ和λ，可以通过调节μ和λ来提高系统的性能；其次，利用微分提高跟随性，同时利用分数阶微分的记忆功能来实现无静差控制[6]，由此提出一种分数阶比例微分(FO-PD)控制器。

运动控制系统是以速度、加速度等运动学物理量为被控制量的控制系统。在实际中，运动控制系统可分为随动控制系统和恒值控制系统。本文主要针对随动系统研究系统的跟随性能。随动系统的特点是系统的给定值变化规律完全取决于事先不能确定的时间函数，追求被控制量快速跟随设定值变化，评价指标为调节时间、上升时间和超调量等指标[7]。本文以三相交流永磁同步电动机作为控制对象，研究FO-PD速度控制策略。将电流环校正后的对象作为等效对象，专注FO-PD速度控制，研究该系统的速度跟随性能，并从能量消耗的角度研究分数阶控制器的节能效果。为了公平地评价FO-PD速度控制器的控制性能，与按照目前应用最为广泛的整数阶比例积分(IO-PI)速度控制器的控制性能进行比较。

1 控制对象、控制器和设计准则

1.1 控制对象

本文采用的交流永磁同步电动机的参数如下：相电枢电阻为R=0.29 Ω，转矩常数Kt=1.83 N·m/Arms，电气性时间常数t=19 ms，转动惯量J=0.003 41 kg·m2。采用矢量控制策略，令id=0后，转速-转矩控制为一典型的电流、转速双闭环控制。电流环采用PI调节器，参数整定后，得到电流闭环等效的惯性环节的时间常数为T=0.001 12 s。进而得到控制对象的等效模型为：

(1)

由于式(1)中的系统增益k可以转移到控制器的Kp中去，而不影响整个控制系统的系统增益，所以，不失一般性，将对象(1)中的系统增益规范化为 1。

1.2 分数阶控制器与整数阶控制器

分数阶比例微分控制器具有如下形式：

(2)

式中，μ∈(0,1]。显然，这是通用的包含积分阶次λ和微分阶次的μ的分数阶PIλDμ控制的一种特殊形式 (λ=0)。

整数阶比例积分控制器具有如下形式：

(3)

式中Kp1和Ki1分别为比例和积分增益。

1.3 设计准则

假定截止频率ωc和相位裕度φm已知。为了满足系统稳定性和鲁棒性的要求，由截止频率和相位裕度的基本定理得到如下的3个关于开环传递函数G(s)的相位和幅值的准则[8-11]：

(i)相位裕度准则

Arg[G(jωc)]=Arg[C(jωc)P(jωc)]=-π+φm

(4)

(ii)系统增益变化的鲁棒性准则

(5)

在给定截止频率处，相位的导数为零。也就是说，相位伯德图在对应截止频率处是平的。即，系统对开环增益变化的鲁棒性好以及对于阶跃响应的超调量应几乎不变。

(iii)幅值准则

|G(jωc)|=|C(jωc)P(jωc)|=1

(6)

2 分数阶比例微分控制器的设计

由式(1)知，控制对象的幅值和相位的频率表示为：

(7)

(8)

FO-PD控制器可写为：

C(jω)=Kp(1+Kd(jω)μ)=

(9)

其幅值和相位的频率表示为：

(10)

(11)

开环传递函数为：

G(s)=C(s)P(s)

(12)

由式(7)和(10)，根据准则(i)，G(s)的相位可以表示为：

(Arg[G(jω)])ω=ωc=

tan-1(ωcT)=-π+φm

(13)

由上式可得Kd和μ之间的关系：

(14)

根据准则(ii)，

(15)

由公式(15)可得到

(16)

(17)

根据准则(iii)，可得到关于Kp的方程：

|G(jωc)|=

(18)

显然，由式(14)、(16)和(18)三个方程，可以得到三个参数Kd、μ和Kp的解。

本文中采用作图的方法来求解Kd和μ这两个参数。具体步骤如下：

(i) 给定系统截止频率ωc=5 000(rad/s);

(ii) 给定期望的相位裕度φm=70°；

(iii) 根据式(14)、(16)画出Kd关于μ的曲线。得到Kd=0.003 4，μ=0.824。

(iv)通过式(18)计算Kp= 6 801.2。

说明：这里Kp的值是控制器和控制对象两部分比例系数的乘积，在按实际模型仿真和原型实验时，应该将对象的比例系数除去。经过一定的计算得到控制器的Kp=12.673 3。

3 仿真和实验研究

本文采用脉冲响应不变离散化的数字实现算法在时域内实现设计的FO-PD控制器中的分数阶算

sμ[12]。采样周期为0.000 625 s。得到FO-PD控制器的的离散传递函数为：

CFO-PD=(0.069 09z4-0.161z3+0.128 5z2-

0.039 7z+0.003 561)/(0.002 051z4-

0.003 527z3+0.001 539z2+

3.106×10-5z-6.1×10-5)

本文选择时间乘以误差绝对值积分(ITAE)性能指标来设计整数阶PI控制器，因为该指标可设计具有高负载扰动抑制的控制器，最大限度地减少系统超调的同时保持系统的鲁棒性[13]。参考文献[5]，得到IO-PI 控制器的参数为Kp3=2.1和Ki3=5.02。因此，最优 ITAE 整数阶控制器的传递函数为

3.1 仿真研究

在MATLAB/SIMULINK环境下，按照实际的永磁同步电机模型建模与仿真，采用相同的电流内环，用阶跃信号作为输入，如图1所示。为了更加直观的比较整数阶控制器和分数阶控制器的跟随性能，表1列出了其主要性能指标：上升时间tr、超调量σ和调节时间ts(稳态值±2%)。图2是分别采用两种控制器的控制信号的对比。控制信号绝对值的积分，即采用FO-PD控制器和最优的IO-PI控制器的能量消耗分别为0.023 3 和 0.029。图3为用正弦波和三角波作为输入信号的系统速度输出响应和跟随误差。

图1 阶跃响应曲线Fig.1 Step responses

从仿真结果可见，采用FO-PD控制器的系统动态响应速度和跟随性能优于采用IO-PI控制器的系统，并且具有更少的能耗。

3.2 原型实验研究

实验方案如图4所示，控制对象为日本三洋公司的永磁同步电动机。伺服驱动装置为实验室自制，其中同步电机采用SVPWM控制策略，控制器采用DSP2812芯片。实验用Ti Code Composer Studio (CCS)软件在PC机上执行。

图3 采用分数阶和整数阶控制器的速度响应Fig.3 Speed responses with FO-PD and IO-PI controller

图4 实验装置Fig.4 Experimental setup

实验中电动机转速采用标幺值(PU值)，即将速度的实际值除以其同单位的基值。本实验中PU=1，表示转速为1 500 r/min。在阶跃信号作用下的速度响应和控制信号，如图5所示，其中图5(a)和图5(b)为实时采集到的图形(上部分图形为控制信号，下部分图形表示速度响应)，图5(c)和图5(d)为采用两种控制器的速度响应和控制信号的直观比较。采用±2%作为稳态误差限，可得跟随性能指标如表2所示。采用FO-PD控制器和最优的IO-PI控制器的能量消耗分别为1.091 0和1.137 9。图6(a)和图6(b)为实时采集到的分别采用两种控制器的三角波速度响应，其中上部分的波形为给定输入，下部分的波形为速度响应。图6(c)和图6(d)为两种控制器的直观比较。其中图6(c)和图6(d)分别为采用正弦波和三角波输入时的速度响应及其对应的误差曲线。

图5 阶跃响应曲线Fig.5 Step responses

图6 采用FO-PD和IO-PI控制器的速度响应Fig.6 Speed responses with FO-PD and IO-PI controllers

控制器tr/sδ%ts/sIO⁃PI017251368151FO⁃PD007750007301

从表2和图5及图6可以看出，采用分数阶速度控制器的运动控制系统的速度响应时间要明显快于采用整数阶速度控制器的运动控制系统，且FO-PD控制器比IO-PI控制器有更好的节能效果。在参考输入波形的转折处，采用IO-PI速度控制器的系统跟随误差要远远大于采用FO-PD速度控制器的误差。所以，采用FO-PD速度控制器的系统动态跟随性能和节能效果均要优于采用IO-PI速度控制器的系统。

4 结 论

本文研究交流永磁同步电动机的分数阶速度控制，在同等实验条件下，分别采用阶跃输入、三角波输入和正弦波输入，对采用FO-PD控制器的速度控制系统与采用IO-PI控制器的速度控制系统的跟随性能进行了仿真研究和实验室原型实验研究。仿真和实验研究结果表明：采用FO-PD速度控制器的系统比采用IO-PI速度控制器的系统具有更好的控制性能和节能效果，适用于对控制性能要求更高或高能耗的控制系统中作为速度控制器。

本文的主要贡献在于：① 提出FO-PD速度控制器并应用到三相交流永磁同步电动机控制系统中；② 用仿真和实验的方法，研究设计的FO-PD控制器的跟随性能以及达到的相关性能指标；③ 从能量消耗的角度，比较设计的FO-PD控制器和最优的IO-PI控制器的节能效果。

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