波浪对竖直板的水弹性冲击

范从军，孙昭晨，马小剑，高 哲

（大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，大连116024）

波浪对竖直板的水弹性冲击

范从军，孙昭晨，马小剑，高 哲

（大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，大连116024）

基于线性水波理论，采用模态叠加法和有限差分法研究了受波浪冲击作用的竖直板的水弹性响应。流体假定为不可压缩、理想势流。首先基于模态叠加法给出了二维边界条件和四周简支板的运动响应的解析解，与有限差分法求解结果进行对比完全一致，然后运用有限差分法给出了四边固定弹性板运动响应的数值解，最后分析了厚度、波长对板振动、辐射波高的影响。研究发现在有边界约束条件下水弹性作用会加剧板的振动。

竖直板；四周边界；水弹性响应；波浪冲击

随着对海洋资源的不断开发，海岸和近海工程建筑物的安全问题已成为研究的热点，特别是波浪对海上建筑物的冲击作用问题。众所周知，由于波浪在船舶和港口岸壁之间的不停反射使得停靠在港口内的船四周环境与开放海域大不相同。竖直墙或者岸边的存在对于港口内的浮体结构和停靠船舶有较大的影响，波浪的反射能够引起结构的动响应，从而使结构发生疲劳等各种损害。随着结构向大型化、轻薄化发展，结构水弹性效应将更突出，对竖直板的水弹性研究也将有助于工程上对结构动态响应的预报，避免发生重大事故。

目前国内外对水平板的水弹性研究较多，提出了各种各样的方法［1-4］，而对于竖直板的研究则甚少。Newman［5］给出了一个描述竖直圆柱振动的正交多项式集，计算了波浪作用下下端固定的悬臂弹性圆柱的振动响应。Sturova［6］基于线性势流理论，通过傅里叶、拉普拉斯变换，得到了一个与弹簧相连的竖直板在波浪作用下时域内运动方程，竖直板仍然假定为刚性的。Peter和Meylan［7］第一次假定板为弹性，采用加速度势推导了板和波浪作用的耦合方程，求解该方程能得到各模态的振幅，再利用谱理论得到时域内板的响应。He G. H［8］在2D水域内，运用BEM-FEM方法研究了板在非线性波冲击作用水弹性响应以及波浪对板变形的响应。分别考虑了板的各项同性和异性，对于耦合方程整体求解。上述文献都只考虑二维板边界条件，即把板当做弹性梁，而实际工程中的模型往往需要考虑板四周的边界条件。

本文将采用势流理论，在频域内利用速度势推导竖直板在波浪冲击作用下的耦合作用方程，分别用有限差分法和模态叠加法对方程进行求解，对板在不同波浪参数和边界条件下的振动响应进行系统分析研究，分别考虑水弹性和不考虑水弹性，对两者结果做一个对比。

1 问题分析

如图1所示，在均匀水深d中有一块厚度为t的竖直弹性板，板长度为D，弹性模量为E。假定流体为无粘性，运动无旋、不可压缩理想流体，满足势流理论。入射波为频率为ω的周期谐波，则速度势可以写成分离出时间变量形式分别表示入射势、反射势和辐射势。对于入射势和反射势可以表示成

方程解为［9］

由线性理论下伯努利方程得压力

根据欧拉板理论［10］，板振动方程为

假定在简谐波作用下板的振动为

把（4）带入（3）并结合方程（2）可得

2 方程求解

本文将采用有限差分法和模态叠加法分别求解并对两种结果进行对比验证，分别考虑二维板和三维板边界条件，二维板条件下对耦合方程化简为

2.1 数值解法

采用有限差分法对方程进行离散，离散采用中心差分格式

带入方程（6）得到二维板边界下离散方程

对于三维边界条件，假定横向和竖向离散距离相等，同样采用中心差分格式可以得到方程的离散形式如下

对于不同边界下面给出主要的三种边界差分格式［10］：

2.2 模态叠加法

二维板边界条件下

四周简支板

2.2.1 简支边界

对于两边简支边界

对方程（6）右边第一项进行正弦级数展开

带入方程（6），同时利用模态的正交性得

对于四周简支板

利用上述三角级数展开同样可以求得

2.2.2 其他边界

本文只考虑两个常用的边界，一个是一端固定，一端自由和两端都固定。

一端固定，一端自由

两端固定

把模态（18）带入方程（5），最后写成矩阵形式

3 算例结果

由于板振动方程是建立在薄板小挠度振动理论的基础上，其必须满足Kirchhoff的假设［13］这要求厚度和长度满足）。根据数值试验得到，当弹性模量E为1011数量级或者更大，板的振动为10-4数量级，无需再考虑。取弹性模量E为109∶1010，泊松比μ=0.3，密度比＜10.0为板密度，ρ为水密度，则本文适用范围。

以实验室常用的有机玻璃为算例，参数如下：弹性模量E=3.15×109Pa，密度ρ=1.19×103kg/m3，泊松比μ= 0.3，厚度为t=0.01 m，则β=0.029，γ=0.011 9，在上述适用范围内，板宽D=1.0正方形板，水深为d=1m，入射波长L/D=2，入射波幅H/D=0.2。分别考虑下端固定，上端自由、两端固定、两端简支和四边简支4种不同情况。利用有限差分离散时，对二维板划分30单元，四边简支、固定时划分20×20单元。

从图2～图3可以看出，在4种不同边界条件下有限差分解和解析解吻合的比较好，这也验证了两种方法的正确性。同时可以看出边界约束越多，板挠度就越小，固定边界的约束作用最大。

图4～图5可以看出在不同的边界下水弹性对板的挠度影响呈现出了截然不同的结果。图4在上端没有约束下，水弹性作用十分明显，较大的变形产生的附加质量和附加阻尼使得上端变形迅速变小。图5两端固定，水弹性的作用却加强了板的振动，这是因为边界的约束作用，使得能量在板上聚集，造成结构位移响应强烈。从附加阻尼矩阵来看，有边界约束时，耦合项中出现了和非耦合项同一量级的数值，但符号相反，从而使得变形增大。

图6～图7分别表示考虑水弹性和不考虑水弹性下最大挠度变化值、辐射波高值与不考虑水弹性情况下最大挠度、入射波高比值。图6可以看出，挠度增大的相对值随着波长的和无量纲刚度和质量的β、γ增大而降低，当L/D≥5.0时，相对值已经接近于零。附加阻尼、质量矩阵随着波长的变大而变小，所以长波作用下水弹性影响很小。图7中，辐射波高随着波长先增大后降低，L/D≈4.0时，达到最大值，同时无量纲刚度和质量β、γ越大，其值也越小。辐射波高与板振幅大小和入射波频率有关，振幅越大，频率越大，辐射波高也就越大。当波长较小时，由于振幅增长较快，所以波高增大，当波长超过一定值后，振幅增长缓慢，甚至几乎不变，但其入射频率越来越小，使得波高逐渐降低。

4 结论

本文基于线性波浪理论，采用模态叠加法和有限差分给出了频域内各种边界条件下板在波浪冲击作用下的响应。通过对比两种方法得出的结果一致，验证了方法的正确性。同时定性的揭示了边界条件、厚度、波长对板振动和辐射波高的影响。和水平板水弹性作用相比，竖直板的水弹性作用在边界约束下能够加剧板的振动。通过数值试验得出如下的结论：

（1）根据弹性薄板理论并结合数值试验，本文方法的适用范围：

（2）因为水弹性作用竖直弹性板的振幅增加和振动所产生的辐射波高随着无量纲刚度和质量β、γ的增大而降低；

（3）波长越小，振幅增加相对值越大，在短波作用下必须考虑水弹性作用，当L/D≥5.0时，则无需考虑；

（4）辐射波高随着波长变化有一个极值，即L/D≈4.0时，辐射波高达到最大；

（5）在各种边界条件下，两边简支边界在波浪冲击作用下，产生的辐射波波高和振动加剧最大。

同时通过傅里叶变换可以很方便地把本文解变为时域内解，特别是二维边界条件下，由于附加阻尼给出了解析的式子，求解十分方便，并不存在求解高频附加阻尼出现的各种困难。

［1］Tsubogo T.A basic investigation on deflection wave propagation and strength of very large floating structures［J］.Journal of the Society of Naval Architects of Japan，1997，181（10）：299-307.

［2］Kashiwagi M.A B-spline Galerkin scheme for calculating hydroelastic response of a very large floating structure in waves［J］. Journal ofMarine Science and Technology，1998，3（1）：37-49.

［3］Liu X D，Sakai S.Time domain analysis on the dynamic response of a flexible floating structure to waves［J］.Journal of Engineering Mechanics-Asce，2002，128（1）：48-56.

［4］滕斌，勾莹.大型浮体水弹性作用的频域分析［J］.工程力学，2006，23（S2）：36-38.

［5］Newman N.Wave effects on deformable bodies［J］.Applied Ocean Research，1994，16（1）：47-59.

［6］KorobkinA A，Sturova IV.Motion of the vertical wall by an initial elevation of the fluid［J］.Journal of Applied Mechanics and Technical Physics，2009，50（5）：841-849.

［7］Peter M A，Meylan M H.Time-dependent interaction of water waves and a vertical elastic plate［C］//Hang Shoon Choi，Yonghwan Kim.The 23rd International Workshop on Water Waves and Floating Bodies.Keroa：Seoul National University Press，2008.

［8］Guanghua H E.Nonlinear Anslysis on Rseponse if Elastic Plate Due to Wave Impact［D］.Japan：Kyushu University，2009.

［9］李玉成，滕斌.波浪对海上建筑物的作用［M］.北京：海洋出版社，2002.

［10］徐芝纶.弹性力学中的差分方法［M］.北京：高等教育出版社，1989.

［11］曹国雄.弹性矩形薄板振动［M］.北京：中国建筑工业出版社，1983.

［12］付宝莲.弯曲矩形板的广义位移理论［M］.北京：科学出版社，2006.

［13］徐芝纶.弹性力简明教程：第二版［M］.北京：高等教育出版社，1989.

Hydroelastic analytic of a vertical elastic plate under wave action

FAN Cong-jun,SUN Zhao-chen,M A Xiao-jian，GAO Zhe
(State Key Laboratory of Coastaland Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Based on the dynamical theories of water waves,hydroelastic analytic of a vertical elastic plate under wave action was presented using mode-expansion method and finite difference method.The fluid was supposed to be incompressible,inviscid and irrotational.Firstly,the analytic solution of response of plate with two dimensional boundary conditions and completely simple support was given by mode-expansion method,and it was fully consistent with the finite difference method result.Then,the response of plate with completely support was computed with finite difference method.Finally,the responsive amplitudes,radiation wave height affected by wavelength and plate thickness were analyzed.The study results show that the vibration of plate with boundary can be aggravated by hydroelastic effect.

vertical elastic plate;surrounded by boundary;hydroelastic response;wave action

TV 139.2；O 242.1

A

1005-8443（2013）05-0380-07

2012-11-12；

2013-01-08

国家自然科学基金（50921001）

范从军（1988-），男，江苏省南通人，硕士研究生，主要从事波浪与建筑物的水弹性作用方面的研究。

Biography：FAN Cong-jun（1988-），male，master student.