颗粒流体数学模型研究进展

谭 成，张克平

(甘肃农业大学工学院，甘肃兰州 730070)

颗粒流体数学模型研究进展

谭 成，张克平

(甘肃农业大学工学院，甘肃兰州 730070)

颗粒流广泛存在于工农业生产过程中，分析颗粒体系的流体动力学特征越来越受到众多科研工作者的关注，但是人们对于其机理认识的还不深入。介绍了描述颗粒流动的数学模型，深入分析了各个模型的适用范围和优缺点，探讨了目前存在的问题和今后研究的重点。

颗粒流；数值模拟；数学模型；两相流

在自然环境中，以颗粒状态存在的物质非常之多。所谓“颗粒流”，是指颗粒在其内应力和所受到的外力的共同作用下发生的类似流体的运动状态[1-2]。在食品、生物制药等很多工农业生产领域都会遇到颗粒流问题，但人们一直对颗粒流方面的知识尤其是它的机理认识不够深入。据相关部门统计，在相关的工农业生产部门中，单凭输送颗粒材料所遭遇的问题，在工农业设备利用能力方面造成的浪费就已经达到40%左右，与节约能源和优化设计的目标要求相差甚远[3]。颗粒流是一个复杂的多相体系，研究者大多将其视为两相流来研究。在20世纪之前，就有相关科研工作者展开了对沟渠中泥沙的颗粒两相流的研究[4]。但是真正对颗粒流系统展开理论研究，是从20世纪40年代末开始。近些年来，研究工作者们根据不同的假设以及观点建立了不同的颗粒流动的数学模型。主要归结为2类观点：一是把颗粒群体看作离散体系，把流体看作连续介质；二是把颗粒群体看作拟流体，把流体看作连续介质，假设颗粒群体在空间上有连续的速度场和温度场分布，即连续介质模型、离散颗粒模型和流体拟颗粒模型。

本研究综述了颗粒流动两相流的3种数学模型，分析了各个模型的适用范围和特点，并对其进行展望。

1 连续介质模型

1.1连续介质模型定义及常见的3种数学表达式

在对颗粒两相流进行研究的过程中，很多研究工作者把离散的颗粒相看成是拟流体，拟流体与真实流体在同一时间充满同一个空间，这就是连续介质模型。

连续介质模型主要包括3种：塑性模型﹑黏性流动模型﹑势流模型。塑性模型主要由2个内容组成，一是屈服函数，二是流动判据。

在Mohr-Coulomb条件下屈服条件的数学表达式如式(1)所示。

|τn|=c+σntanΦ。

(1)

式中：σn为单位黏聚力；Φ为内摩擦角。

黏性流动模型的数学表达式如式(2)所示。

div(εsρsvΦ-εsμsgradΦ)=-εsgradPs-εsρsg+F。

(2)

式中：μs为固体颗粒黏度；F为除重力以外的其他作用力。

势流模型的数学表达式可分别由连续方程和动量方程表示，表达式如式(3)和式(4)所示。

连续方程：

div(ρsv)=s；

(3)

动量方程：

div(-ρsgradψs)=s。

(4)

1.2连续介质模型的特点

CFD软件是计算流体力学软件的简称，是基于流体控制方程对流体问题模型求解，用来进行流场分析、计算、预测的专用工具，随着计算机硬件技术的飞速发展，已逐渐作为一种新手段受到重视。近几十年来CFD软件得到了蓬勃的发展[5-7]，在颗粒两相流的研究成果上有很多。而在一般情况下，颗粒单相流动的方程形式恰恰与颗粒两相流动的方程形式差别不是很大，因而可借助CFD对颗粒两相流的研究成果。另外，在连续介质模型的数学方程中，用“场”来表示固相方程，使得研究工作者可以很方便地运用高等数学中的微积分方法来求解固相方程[8]。

连续介质模型的缺点如下：首先，该模型没有把颗粒的直径、颗粒的形态、颗粒的大小、颗粒的分布等因素对颗粒的影响考虑在内；其次，该模型的基本假设是连续性假设，即假设离散在流体中的颗粒是充满整个空间并且完全没有空隙的流体。然而，在实际工况中，当流体中的颗粒浓度相对较低或者存在不均匀分布这一特点时，显然该模型的基本假设是不成立的[9]。

1.3连续介质模型的分类及其应用发展

宏观上连续介质模型可以分成2种：一是通过对非连续的颗粒相平均处理来研究颗粒相群体的平均行为，解决的方法跟单相流动相似，都是利用各种实验结果﹑已知的经验公式将偏微分方程组封闭，然后再进行求解；二是把颗粒流体系统分为不同的连续介质，然后通过引入不同连续介质之间的相互作用建立数学模型。例如：在流态化研究中，科研工作者使用Davidson气泡模型[10]。该模型把颗粒流体系统分为乳化颗粒连续介质和气泡连续介质，乳化颗粒连续介质和气泡连续介质两者间是相互独立的，互相不包含彼此，气泡往上运动，乳化颗粒向两边运动，通过这两者之间的相互作用建立数学模型。

连续介质模型具体可细分为3种，分别是扩散模型﹑单流体模型﹑双(多)流体模型，其中双流体模型包括小滑移双流体模型和完整的有滑移-扩散的双流体模型[11]。

1.4连续介质模型的应用发展

基于上述的优点，GIDASPOW等在运用该模型对气固流态化进行模拟的研究中，获得了较有影响的研究成果[12-14]。基于前述的缺点，该模型产生的误差较大，模拟精度不高，适用范围有局限，所以该模型仍然处于一个发展的初期。

2 离散颗粒模型及其特点、应用

2.1离散颗粒模型

离散颗粒模型是把颗粒当作离散体系，在拉格朗日坐标系中，对颗粒与颗粒﹑流体与颗粒之间的相互作用力分别列出运动方程，直接模拟颗粒与颗粒之间的碰撞过程。对颗粒与颗粒之间的碰撞存在2种假设，一是硬球模型，二是软球模型。

2.1.1 硬球模型

硬球模型假设颗粒与颗粒之间的碰撞是瞬时的，碰撞的过程中颗粒本身不会产生明显的塑性变形，3个以上的颗粒同时碰撞不作考虑，仅考虑2个颗粒的瞬时碰撞。该模型能跟踪所有颗粒，然而由于该模型假设颗粒间的碰撞是瞬时碰撞，所以不能对静态系统模拟。另外，在大颗粒系统中，该模型选取的各个参数是真实值，其推导的公式具有合理的理论基础，但是模拟系统的颗粒数目不能太多。

针对模拟系统的颗粒数目不能太多这一缺点，TSUJI曾使用硬球模型与Monte-Carlo相结合的方法，对大规模颗粒构成的气固两相流动进行了数值模拟。但是，在固相浓度较大时，颗粒间的碰撞率小于1的条件以及颗粒与颗粒之间的碰撞是瞬时的这个假设都将不能满足。因此，硬球模型主要适用于颗粒相浓度低、颗粒流相对比较快的颗粒流中。

2.1.2 软球模型

与硬球模型相比，软球模型假设颗粒与颗粒之间的碰撞不是瞬时的，可以持续一段时间，把3个以上的颗粒同时碰撞也放在考虑范围之内，因此软球模型适用范围比较广。另外，软球模型可以跟踪颗粒流场中的所有颗粒，所以它能够相对比较准确地描述颗粒碰撞接触过程中产生的碰撞力。

但是，软球模型的计算工作量大，因此模拟颗粒的直径、数量等这参数将受到严格限制，与实际规模的数值模拟相比具有较大差距。从现实的状况来看，目前该模型的应用成果仍局限于装置规模小、直径相对比较大的颗粒、时间周期短的模拟。

2.2离散颗粒模型的特点及其应用发展

离散颗粒模型能相对比较准确地描述颗粒两相流的实际运动原理，而且由碰撞模型理论所得到的颗粒两相流方程很好求解。不足的是，离散颗粒模型在建立模拟碰撞方程时，所得到的颗粒运动方程与颗粒数同样多，这就造成了计算工作量大，模拟真实流场的精度不高；另外数值模拟迭代次数大，易出现收敛问题。

为了克服计算工作量大的缺点，YONEMURA的直接模拟Mmonte-Carlo法引入了碰撞几率的概念，认为颗粒间的碰撞由碰撞几率而不是颗粒的运动轨迹所决定[15]。这种降低计算量的简化处理方法使得轨道模型不再完全跟踪所有颗粒的运动，在一定程度上淹没了离散颗粒模型的跟踪运动的优点。

3 流体拟颗粒模型

3.1流体拟颗粒模型的提出背景

在使用连续介质模型的过程中，科研工作者们所采用的微元，虽然它们的内部结构相对比较丰富，但这些微元不是完全处于近平衡状态，这时简单的本构关系就不再适用。另外，由于人们对多尺度结构的形成和相互作用的机理知之甚少，所以很不合理也很无可奈何地舍去了其中的一些差别影响，主要从现象的描述入手，用那些可靠性和适用范围均有局限性的经验和理论来估计修正结构的影响。在没有系统的理论基础情况下，各种庞杂的修正之间容易产生相互冲突甚至会出现违背基本原理的情况。

当然目前也有一些模型，如Davidson鼓泡模型[16]﹑环核结构模型[17]和EMMS模型[18]等已经考虑不均匀结构和间断性的存在，但它们都结合了具体系统的特性，对结构设定了先验的轮廓，而且只是对系统中典型的整体和时均行为的描述，因而还是相当粗略的，难以系统地改进微元模型。

3.2流体拟颗粒模型的核心思想

为了能准确地模拟颗粒流体系统在连续介质尺度上的行为，必须从更小的尺度上模拟颗粒及其周围流体的运动。基于此，研究者提出了流体拟颗粒模型[19]。该模型把颗粒当作离散相，将气体当成离散的气体“颗粒”微团，通过模拟气体“颗粒”与真实固体颗粒之间的碰撞等相互作用，来描述研究对象，从而精确把握颗粒两相流动中的一些宏观现象和微观特性。

3.3流体拟颗粒模型模拟中的一些限制

在开展用拟颗粒模型来模拟颗粒两相流的研究中，为了保证复现所需的现象，一般颗粒与拟颗粒间应有相对比较大的尺度差别。拟颗粒模拟可借鉴MD模拟中的刻画准则，即用Knudson数Kn=λ/D

3.4流体拟颗粒模型的应用发展

拟颗粒模型目前发展还不成熟，对颗粒两相流的数值模拟还局限于理想状况，如利用拟颗粒模型对二维单圆柱绕流的模拟。在该模拟中，其精确结果仅限于2种极限情况：一是雷诺数无限接近于0；二是流体体积份额无限接近于1[21]。另外，葛蔚等针对流体拟颗粒模型计算量大的缺点，提出了采用加权平均和有限差分等手段，将粒子间作用提升到符合N-S方程的流体微元尺度的宏观拟颗粒模拟，能初步应用于实际问题的求解[22]。

事实上，流体拟颗粒模型对实际颗粒两相流的模拟终究过于微观，因此有关科研工作者试图以类似SPH中所采用的流体微元间作用代替粒子间的碰撞，以扩散拟颗粒模拟，称之为宏观拟颗粒模拟[23]。这方面的工作仍处在探索中。

4 结 语

描述了颗粒两相流动的3种数学模型，分析了这3种数学模型的运用范围和特点，并对其进行了展望。认为连续介质模型目前存在的关键问题是用什么方法对颗粒相方程进行封闭﹑校正，离散颗粒模型目前存在的关键问题是如何解决计算时间过长以及建立颗粒与颗粒之间比较准确的碰撞模型。对流体拟颗粒模型的进一步深入研究，可以为连续介质模型方程中同相之间﹑不同相之间作用力的封闭问题提供理论指导。

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Research advance in granular flow mathematical model

TAN Cheng, ZHANG Keping

(School of Engineering, Gansu Agricultural University, Lanzhou Gansu 730070，China)

Granular flow exists widely in the production process of industry and agriculture. Scientists pay more and more attention to the analysis of fluid dynamic features of particles, but the mechanism is not well understood yet. The mathematical model of granular flow is introduced, and the scope of application, the advantages as well as the shortcomings of various models are analyzed. The existing problem and the key points to be studied in the future are discussed.

granular flow; numerical simulation; mathematical model; two-phase flow

1008-1542(2013)04-0293-04

10.7535/hbkd.2013yx04006

TQ018

A

2013-04-03；

2013-05-05；责任编辑：冯 民

国家自然科学基金(51265001)；甘肃农业大学伏羲青年英才培养计划

谭 成(1988-)，男，江苏盐城人，硕士研究生，主要从事农产品加工机械方面的研究。

张克平博士。E-mail：zhangkp@gsau.edu.cn