三角矩阵环是强c l e a n环的环构造

李艳午，施吕蓉，储茂权

（1.芜湖职业技术学院基础部，安徽芜湖241003；2.安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖241000）

1 引言

设R是一个有单位元的环，元素α∈R称为一个clean元，如果a能表示为一个幂等元和一个单位元的和；进一步地，称a为一个强clean元，如果a=e+u，其中e2=e∈R,ue=eu,u是R的一个单位.相应地，环R称为一个（强）clean环，如果R的每个元素都是（强）clean元.因为clean环与正则环、局部环、置换环等重要环类的密切关系而使其成为近年来环论研究的一个热点[1-6].众所周知，环上的矩阵的性质往往反映了一个环自身的性质，例如R是clean环当且仅当Tn（R）是clean环.但是，R是强clean环时，Tn（R）未必是强clean环.因此，构造一个环使这个环上的三角矩阵环成为强clean是一件有意义的工作.

在交换代数里，一个局部环往往定义为一个有唯一极大理想的非零环.局部环在交换环里是一个很普及的概念，因为任何一个交换环对它的素理想都可以局部化，所以是研究交换环的一个有力的代数工具.局部环理论不仅在代数几何中有重要的应用，即使在环论本身也是一个重要的研究对象和工具，例如文[7]就是用局部环的总体维数来表达一个可交换的ACC环的总体维数.

鉴于局部环都是强clean环[3]，所以通过局部环的构造，完成三角矩阵环为强clean环的环构造成为一种可能.文章通过整数环构造了三个具有局部化性质的环，证明了所构造的环上的三角矩阵环均为强clean环.

本文中的环都是有单位元的可换环.其中，Tn（R）表示环R上的三角矩阵环；J（R）表示环R的Ja⁃cobson根；α∈U()R表示环R的所有单位元之集合；RM表示环R上的所有模之集合；其余记号参照文[8].

2 主要结果及证明

因为整数环Z是最常见的主理想整环，并且其每个主理想形如nZ，不难验证Z/nZ为域当且仅当n为素数.所以，考虑从整数环出发构造具有局部化性质的环.

引理1设Z为整数环，m为正整数，Z/mZ则为局部环⇔m=ps，其中p为素数，s正整数.

定理1设Z为整数环，令R=Z/mZ，其中m为某个素数的幂.则对任意正整数n≥1，T（nR）是强clean环.

证明由引理1知，所构造的R是局部环.下面对n进行归纳证明.

当n=1时，由于局部环的强clean性，显然对每个a∈R，都有强clean表示a=e+u，并且当α∈U(R)时，可以选择e=0，从而结论得证.

假设n＞1，并且对每个A=(aij)∈Tn-1(R)，都有强clean表示：(aij)=(eij)+(uij)，使得对每个1≤i≤n-1，当αii∈U(R)时，eii=0.现在，假设

为利用归纳假设的结论，再令

其中

由归纳假设，A1有强clean表示：A1=E+U，其中E=（ei）j，u=（ui）j对每个1≤i≤n-1，当αii∈U(R)时，eii=0.

最后，根据文[6]的定理3.1，存在

使得

并且，对每个1≤i≤n，当αii∈U(R)时，eii=0.

推论1设Ri=Z/miZ，其中mi=,pi均为素数，R=∏Ri是Ri的直积，则对任意正整数n≥1，T（nR）是强clean环.

证明根据定理1，每个T（nR）i是强clean环，而Tn(R)=∏Tn(Ri)，从而定理得证.

推论2设p∈Z,p为素数，令Z(p)={a/b∈Q|b∉Zp}，则对任意正整数n≥1，Tn（Z（p）），是强clean环.

证明由文[8]知，Z（p）是一个以pZ（p）为极大理想的局部环.于是，根据定理1，对任意正整数n≥1，T（nZ（p））是强clean环.

定理2设环R=Z/mZ（其含义如引理1所定义），σ是R的一个自同态，其中σ(J(R))⊆J(R).那么，对任意正整数n≥1，T（nR，σ）是强clean环.

证明设σ是R的一个自同态，令

不难验证，Tn(R,σ)也是一个环，称之为环R上的一个斜三角矩阵环.显然，Tn(R,1R)=Tn(R)和T2(R,σ)与形式三角矩阵环是一致的，这里RM=RR其中xr=xσ(r),x∈M,r∈R.由于σ是一个自同态，所以

故由定理1，结论成立.

定理3设环R是一个可换环，如果R的理想的格是一个链，那么对任意正整数，n≥1，T（nR）是强clean环.

证明由文[8]知，如果环R是一个可换环，并且R的理想的格是一个链，那么R是一个局部环.于是，由定理1，结论得证.

众所周知，自由模都是投射模,但投射模未必是自由模，因此研究一个环在什么情况下，其上的投射模都是自由模式有意义的.根据文[8]的有关推论，局部环上的投射模都是自由的，所以结合前面的定理，有如下两条推论.

推论3设Z为整数环，令R=Z/mZ，其中m为某个素数的幂.则对任意投射模M∈RM,M是自由模.

推论4设环R是一个可换环，如果R的理想的格是一个链，那么任意投射模M∈RM,M是自由模.

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