一类具有Z2-等变性质的平面七次哈密顿向量场的全局相图及其分类

李艳梅



一类具有Z2-等变性质的平面七次哈密顿向量场的全局相图及其分类

李艳梅

（楚雄师范学院数学系，云南，楚雄 675000）

应用微分方程定性理论，研究了一类具有Z2-等变性质的平面七次哈密顿向量场的全局相图，对相图进行了分类，并划分了参数空间。

Z2-等变性质；七次平面哈密顿向量场；奇点；相图

并对具体的系统

证明该系统有49个有限奇点，4个无穷远奇点，并且随着参数的取值的不同，系统的相图也随之改变，最终得到一些已知文献中没有出现过的新的相图，其中＞1是一个参数。

1 奇点的性质

显然，系统（1）具有49个奇点:

系统（1）的雅可比行列式是

其中

为了研究系统（1）的全局性质，先证明以下的一般结果：

在一、二象限内有两个无穷远奇点。

不难看出，(0,0)不是系统（5）的奇点。引理1得证。

于是，由引理1及上面的讨论，关于系统（1），可以得到如下结果：

2 系统（1）的相图

系统（1）的哈密顿量是

并且不难算得

定理 2

从而系统（1）的相图如图1(1)所示。

从而系统（1）的相图如图1(2)所示。

从而系统（1）的相图如图1(3)所示。

图1(1)~(17) 系统（1）的相图 Fig.1 (1)~(17) Phase portraits of the System (1)

(4)若则有奇点处的哈密顿量满足关系

从而系统（1）的相图如图1(4)所示。

(5) 当时，于是，当时，奇点处的哈密顿量满足下列关系之一

从而系统（1）的相图如图1(5)所示。

(6) 若时，有则奇点处的哈密顿量满足关系

所以系统（1）的相图如图1(6)所示。

(7) 当时，。于是，当时，奇点处的哈密顿量满足下列关系之一

所以系统（1）的相图如图1(7)所示。

从而系统（1）的相图如图1(8)所示。

所以系统（1）的相图如图1(9)所示。

从而系统（1）的相图如图1(10)所示。

从而系统（1）的相图如图1(11)所示。

从而系统（1）的相图如图1(12)所示。

从而系统（1）的相图如图1(13)所示。

从而系统（1）的相图如图1(14)所示。

从而系统（1）的相图如图1(15)所示。

从而系统（1）的相图如图1(16)所示。

从而系统（1）的相图如图1(17)所示。

[4] Li Jibin, Chan H S Y, Chung K W. Bifurcations of limit cycles in a6-equivariant planar vector field of degree 5[J]. Science in China, 2002,45(7)：817-826.

[5] Li Jibin. Hilbert’s 16thproblems and Bifurcations of Planar Polynomial Vector Fields[J]. International Journal of Bifurcations and Chaos, 2003,12(1): 47-106.

[6] 李艳梅. 具有8-等变性质的平面七次哈密顿向量场的一般形式及其相图[J].楚雄师范学院学报, 2010，25(12)：32-35。

[7] Li Yanmei. The Phase Portraits of a type of Planar Septic Hamiltonian Vector Field with2-Equivariant Property [J]. Journal of Chuxiong Normal University, 2011, 26(9):47-50.

[8] Li Jibin. Bifurcations of Limit Cycles in a2- equivariant Planar polynomial Vector Field of Degree 7[J]. International Journal of Bifurcations and Chaos, 2006,16(4):925-943.

[9] 张芷芬,丁同仁. 微分方程定性理论[M]. 北京:科学出版社,1997:385-391.

CLASSIFICATION OF GLOBAL PHASE PORTRAITS OF A Z2-EQUIVARIANT PLANAR HAMILTONIAN VECTOR FIELD OF DEGREE SEVEN

LI Yan-mei

(Department of Mathematics, Chuxiong Normal University, Chuxiong, Yunnan 675000, China)

Based on the method of qualitative analysis of differential equations, we study the global phase portraits of a Z2-equivariant planar Hamiltonian vector field of degree seven. Furthermore, we classify its phase portraits and divide its parameter space.

Z2- equivariant property; planar Hamiltonian vector field of degree seven; singular point; phase portrait

1674-8085(2013)02-0007-06

O175

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.02.002

2012-08-22；

2012-12-20

云南省应用基础研究项目（2008ZC158M）

李艳梅(1966-)，女，云南昌宁人，教授，主要从事非线性微分方程研究(E-mail: cxyanmei@126.com).