双层错位频率选择表面的电磁特性分析

马 鑫 万国宾 万 伟

（西北工业大学电子信息学院，陕西 西安710129）

引 言

1 模型建立与理论分析

频率选择表面（FSS）具有空间滤波特性，在滤波器、天线副反射面等方面有着广泛的应用.其中多层级联FSS结构因其在带宽、角稳定性和滤波等方面的显著优势而备受青睐.对于副反射面通常是曲面结构，在实际加工中，FSS屏加载面的曲率半径与面积差异将会导致不同层的FSS单元中心无法对准，栅格单元出现相对错位.这种单元周期错位会直接影响多层FSS结构的滤波特性［1-7］.由于精确建模方法的计算效率限制，目前大型曲面阵列结构的电磁特性分析只能采用基于局部平板等效的高低频混合方法来进行，从而使平面双/多层错位FSS的电磁特性分析成为解决这类工程技术问题的关键之一.

多层FSS结构的数值分析方法主要有两种，一种方法是把每层FSS作为单独的模块，通过广义散射矩阵［8-9］对各模块进行级联的方法；另一种是依据电磁场边界条件建立一组耦合积分方程［10-11］的方法.其中，耦合积分方程法从本质上考虑了层间场的电磁耦合，真实地反映结构特性，具有更高的分析精度.目前这些方法大多是针对理想级联的周期结构，关于错位误差影响的研究较少.文献［1］-［3］基于平移错位的双层FSS结构，采用耦合积分方程法对偶极子单元的可机械调谐FSS进行了原理性的分析.文献［4］借助仿真软件研究方环形缝隙单元的频率调谐特性.文献［5］和［6］基于错位误差模型选用屋顶基函数，通过改变有限照度函数的定义范围实现了双层错位的数值分析计算，但文中仅针对缝隙结构单元考察轴向的错位问题.文献［7］应用仿真软件分析了错位误差对圆环缝隙单元传输特性的影响.

本文基于耦合积分方程法建立了双层错位FSS的电磁特性分析理论模型，提出了一种适用于任意形状单元任意方向错位的双层FSS结构电磁特性的分析计算方法.文中首先对理想双层FSS结构进行理论分析，其次建立双层错位FSS结构的分析模型，根据周期边界上导体表面电流的连续性准确描述导体表面的电流，给出错位结构的耦合积分方程并采用矩量法求解，最后以方环和方形贴片单元为例，验证算法的准确性并分析任意方向错位的双层FSS结构散射特性.

双层FSS模型及其坐标系如图1所示.双层FSS由周期排布、单元尺寸完全相同的单屏FSS（I）和FSS（II）级联组成，x、y方向的周期分别为Tx、Ty，两层FSS之间的介质层厚度为d，介电常数为εr.均匀平面波沿 （θi，φi）方向照射，z＝0处入射场切向分量与x轴的夹角定义为入射极化方向φE.FSS（I）单元的几何中心为O点，FSS（II）单元的几何中心为O′点.对于理想级联结构，O点与O′点的连线OO′沿z轴方向，两层FSS单元的几何中心无偏差.在实际加工中，可能使得OO′偏离z轴方向，两层FSS相对错位.

图1 双层FSS模型

1.1 理想双层FSS的理论分析

依据边界条件建立双层FSS电磁特性分析的耦合积分方程为［12］

采用RWG基函数将导体表面的未知感应电流展开，如图2（a）示.各层展开的基函数个数相同，记为N1.采用Galerkin法将积分方程化为矩阵方程

图2 FSS单元

式中：n1，m1，n2，m2＝1，…，N1；Ini为第i层导体表面未知感应电流的系数，矩阵元素可表示为

1.2 双层错位FSS的理论分析

针对错位结构定义O′点相对于O点沿x、y轴方向的错位量分别为dx、dy，xoy面内的总错位量为Δ＝d2x＋d2y，错位方向角φ为OO′在xoy面内的投影与x轴方向的夹角，如图2（b）示.

以FSS（I）单元周期为基准，则FSS（II）单元在计算周期内被截断，并且周期内FSS（II）的单元形状随错位量的不同而改变.采用RWG基函数分别将第一层和第二层FSS导体表面的未知感应电流展开.其中，周期内FSS（I）的几何单元完整，基函数展开个数仍为N1.FSS（II）被计算周期截断，几何单元由Ng个RWG基函数展开，如图2（b）中实线剖分所示.考虑到FSS（II）边界上导体表面感应电流的连续性，应计入边界上连续分布电流的基函数.

在周期边界附近FSS（II）单元导体表面剖分的三角形与其相邻周期单元内剖分的三角形存在公共边，两相邻三角形构成了边界电流的RWG基函数，如图2（b）中虚线剖分所示.边界连续分布的电流由Nc个边界电流的RWG基函数展开.其中，沿y方向FSS（II）单元周期边缘的上边界和下边界与其相邻单元均存在公共边，依据FSS结构的二维周期性，则只应计入其中一条公共边上的连续电流.同理，沿x方向FSS（II）单元周期边缘的左边界和右边界中也只需计入其中一条公共边上的连续电流.图2（b）中虚线剖分所示为计入了单元上边界和右边界电流的基函数.FSS（II）周期单元展开基函数的总个数N2为

对于双层错位FSS结构，式（2）应写为

式中：n1，m1＝1，…，N1；n2，m2＝1，…，Ng；n3，m3＝1，…，Nc；In1为FSS（I）完整周期单元的未知电流系数；In2为FSS（II）几何单元剖分的未知电流系数；In3为FSS（II）周期边界连续电流的未知系数.矩阵元素可表示为

式中：i，j＝1，2；s，t＝1，c，g.求解式（6）可得到In1、Ing、Inc及散射场，双层错位FSS结构的反射系数R可表示为：

式中：E＋为入射波照射在无金属屏的介质层时产生的反射场与双层FSS导体表面感应电流产生的反射场之和；γ为沿z轴方向波数.

2 算例、结果与分析

基于上述理论方法，首先分别以方环形和方形贴片FSS为例，通过双层错位FSS反射系数的计算验证算法的准确性，然后以方环形单元FSS为例研究错位距离、层间距和入射极化方向对双层FSS反射特性的影响规律.其中方环形单元FSS的结构参数为Tx＝Ty＝12mm，内外环边长L1＝10mm，L2＝8mm，介质层参数εr＝2.08；方形单元FSS的结构参数为Tx＝Ty＝20mm，贴片边长L＝10mm，介质层参数εr＝1.58.

2.1 算法的准确性

图3和图4分别给出平面波以φE＝0°垂直照射时，沿φ＝45°方向错位、dx＝0.5Tx的双层方环形FSS和双层方形FSS反射系数的数值计算和Designer软件仿真结果.其中，双层方环形FSS选择d＝6mm，上下层单元分别离散为N1＝136，Ng＝88，分别考察了考虑上边界和右边界边缘连续电流Nc＝4的错位模型与不考虑Nc＝0周期边界边缘电流连续性的错位模型；双层方形FSS选择d＝2.35mm，上下层单元分别离散为N1＝105，Ng＝138，分别考察考虑下边界和左边界边缘连续电流Nc＝12的错位模型与Nc＝0的错位模型.采用Designer软件仿真时设置边界为“infinite array/FSS”.由结果可以看出：考虑周期边界电流连续性Nc≠0时数值计算结果与Designer软件仿真结果完全吻合；周期边界截断单元的电流对计算结果影响很大.

2.2 层间距对电磁特性的影响

图5给出沿φE＝0°方向极化垂直入射时，无错位和沿φ＝0°方向错位，dx分别为1.5、3、4.5、6 mm的双层FSS结构的中心频率f0和1dB带宽随层间距d变化的曲线.可以看出：d相同时，错位导致f0偏移，带宽明显改变；当d小于3mm（约1/10介质波长）时，Floquet衰减模在层间发生反射，层间耦合较强，错位导致f0大幅偏移，相对频移30.34%，并且带宽剧烈变化，相对变化81.8%；随着层间距离增大，衰减Floquet模指数衰减，层间耦合变小，错位结构的f0于带宽在无错位结构的f0与带宽附近缓慢变化，错位对双层FSS散射特性的影响逐渐减弱.

图5 层间距对FSS电磁特性的影响

2.3 入射极化方向φE对电磁特性的影响

下面以d＝4mm结构为例，分别观察垂直入射和斜入射情况下，入射极化方向对错位结构反射特性的影响规律.

1）垂直入射

图6给出以φE分别为0°和90°方向垂直入射时，Δ相同，错位方向φ分别为30°和60°两种错位模型的反射系数曲线.由图6可以得到以下结论：以两个互余角度的极化方向分别照射错位方向互余、Δ相同的两种错位模型，当入射极化方向与错位方向的夹角相同时，两种错位结构的散射特性相同.因此只需要研究错位方向小于等于45°结构的散射特性，错位方向大于45°结构特性的变化规律可由此互余关系得到.

以φ＝30°错位为例，图7给出了分别沿0°、30°、60°和90°极化方向入射时，双层错位FSS的f0、1dB带宽和插入损耗随错位量变化的曲线.由图7（a）可以看出，任意极化方向入射时，随着错位量增加，f0升高；φE＞45°入射时，f0偏移幅度较大，最大偏移达到0.5GHz.由图7（b）和（c）可以看出：φE＜45°时，随着错位量的增加，带宽由5.2GHz降低到4.2GHz，插入损耗急剧增大，当dx＝4.5mm时，性能达到最差；φE＞45°时，带宽和损耗缓慢增加，变化幅度较小.2）斜入射

图8给出了θi＝30°入射，TM极化φE分别为0°、30°、60°和90°入射时，双层FSS的f0、1dB带宽和插入损耗随错位量变化的曲线.由图8（a）和（c）可以看出：斜入射时，随错位量增加中心频率和损耗的变化规律与垂直入射情况相同，f0最大偏移0.3GHz，损耗变化幅度增加.由图8（b）可以看出，任意极化方向入射时，错位导致带宽降低；当φE＜45°入射时，带宽变化剧烈，最大降幅达到2GHz，相对变化40%.

图8 斜入射时φE对FSS电磁特性的影响｀

3 结 论

基于耦合积分方程建立了双层错位FSS电磁特性分析理论模型，并对错位FSS的电磁特性进行了研究.理论分析和数值算例表明：

1）基于耦合积分方程的分析方法可以有效分析双层错位FSS结构的电磁特性分析，周期边界截断单元的电流对计算结果影响很大.

2）双层FSS的屏间距小于1/10介质波长时，错位导致中心频率大幅偏移，带宽剧烈变化；随屏间距增大，错位的影响逐渐减弱.

3）随着双层FSS的错位量增加，中心频率和插入损耗逐渐升高，电磁特性的变化幅度与入射方向和错位方向有关.

4）垂直照射时，φ＜45°方向错位φE＜45°极化入射引起双层FSS频率响应较大衰减，带宽急剧减小；φ＞45°方向错位的影响可由互余关系得到；斜入射时特性变化规律与垂直入射情况相同，以任意极化方向入射时带宽均减小.

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