论两种几何观念与空间结构

■鲁品越

20世纪提出的量子理论、系统动力学以及分形几何等新自然科学理论，在哲学本体论上的巨大理论意义，是通过物质间的相互作用过程(交换量子的过程)提出了世界的“层级结构”的思想:不同能级的相互作用生成了不同层次的物理过程及其表现现象。这种观念彻底打破了那种只有同一层次的物质质料和空间的“连续统”时空观与物质观。它告诉人们:无限精确的空间长度、时间间隔，无限精确的物质质量、动量与能量等“点”概念，仅仅是人们的直观想象，在客观世界中并不存在。它们的实际意义只是作为运动物质的某个空间区域、时间流程与性质范围的标记，这种区域范围是由相互作用能级决定的，而不是绝对“准确”的客观事实本身。事实本身是在事物内在相互作用中生成的，在不同的相互作用水平上，存在着相应的不可分割的“量子”现象——不可分割的空间单位、时间单位、能量单位、动量单位等，从而形成不同层级上的相互作用，并且造成了各个层次上事物相互作用的不确定性。这是掩藏在表面的宇宙图景背后的深层图景。

用这种观念来看待几何空间，便会产生出一种全新的空间观念——一种具有层次结构的空间，它完全不同于无层次结构的经典空间观念。不论是欧几里德几何、还是非欧几里德几何 (如黎曼几何等)，都是这种传统的无层次结构的几何。这种经典空间认为整个宇宙只存在唯一的空间——这就是我们周围以连续统形式存在的空间，这种空间是既定的存在，还不是在事物的相互作用过程中生成的产物。一旦我们打破这种传统的空间观念，就会发现世界上存在着各种不同层次的空间，而不同层次空间之间既具有差别性，又具有类似性，从而展现出一种无比美妙的空间结构。

一、经典世界的无层次几何结构

柏拉图曾经断言，宇宙间只有两种最基本的几何形状:直线和圆。由直线组合成多边形，多边形构成多面体。一切平面都是由正方形所组成，一切立体形状都由立方体组成，而圆形在立体上表现为球形。宇宙万物的几何结构都是由这几个基本形状组成的。近代科学发现了天体与地上物体的运行轨道并非都是直线与圆，而是抛物线、椭圆和双曲线。然而通过笛卡尔创立的解析几何，这些轨道都被化为解析函数形式。再通过牛顿与莱布尼茨发明的微积分，这些轨道与相关的面积与体积进一步被归并为直线形的组合:一切曲线由无数个无限小的直线段组成，一切曲面由无限小的正方形组成，一切体积由无限小的立方体组成。这样的几何学，在世界观上是典型的“构成论”几何学:它将世界的各种几何形状分解为最基本的组成部分，而这些图形的量度则是建立在世界“无条件地”无限可分的基础上。

然而，大自然中无数物体及其运行轨道的几何形状，如雪花、山峦、海岸线、雷电、花草树木等，以及从实验中采集的各项数据，并不能按照笛卡尔的解析几何方法推导出它们的解析函数形式，进而根据解析函数形式来将其用微积分的方法归结为由直线组成的图形。对于这样的图形怎么办?数学家们发明了一套“回归法”，使它们用某一最接近实际曲线的解析函数曲线来描述这实际曲线。这样一来，宇宙间一切曲线乃至一切曲面和立体形状，统统都可以归结为由直线和圆所构成。进一步说，圆形也可以通过微积分归结为直线形(多边形)的极限。当然，直线又由点所构成，因此，点和直线(以及正方形、立方体)成为宇宙一切几何结构的基本构成要素。宇宙的空间只有唯一的层次:这就是无穷可分的绝对空间。

这种把宇宙一切几何结构统统归结为点和直线的思维范式，是“构成论”思维范式在几何学中的典型表现。它把宇宙一切几何结构理解为由最基本的要素同时存在而组合成的东西，因此，整体等于各个部分的总和。因此，这种“构成论”是一种线性世界观:整个世界，以及它的各个事物都是其组成部分的机械相加。几何结构则是点和直线的总和。

那么，现实世界的所有几何结构果然都是由直线和圆组合而成的结构吗?到了20世纪60年代末，人们才开始对这种简单而粗陋的观点提出怀疑。70年代初，一种关于客观世界几何结构的新理论出现了，这就是“分形几何学”。

二、“粗粒化”与各层次的空间

按照“构成论”观点，世界上一切图形，不论如何复杂，都是由简单的点、直线、平面和体积构成的，所以人们普遍认为直尺可以测量世界上一切曲线的长度，平方面积可以测量一切曲面的面积，而小立方体可以测量一切形状物体的体积，这似乎是天经地义。然而到了1967年，美籍法国数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在《科学》上发表《英国的海岸线有多长》一文，指出了这一观点的根本性错误:因为如果按照这一测量方法，那么海岸线的长度的测量值将不取决于海岸线本身，而取决于测量单位，最后无法得到确定的海岸线长度。这是因为:如果我们以1公里作为单位来测量海岸线，将会忽略短于1公里的迂回曲折而得到较小的近似值;若以1米为单位测量，则能只忽略短于1米的迂回曲折，于是得到较大的长度近似值。测量单位进一步变小，测得的长度近似值将愈来愈大。如果此法能够取得海岸线的确定长度，那么随着测量单位不断变小，长度近似值应当趋近于一个极限值，此值就是海岸线的真正长度。然而曼德布罗特发现:由于海岸线极不规则、极不光滑，这种极限值将无限大。这说明直尺不能用来测量海岸线，正像它不能用来测量面积一样。这其中的道理到底是什么?这就需要我们重新思考几何图形的测量的本质和“测量单位”的选择标准。

实际上，几何测量的基本要求，是被测量的几何形态必须由一个个测量单位的几何结构组成。例如，直线由作为测量单位的小线段组成，多边形的面积由一个个小正方形组成，多面体由一个个小立方体形成等。它含有的测量单位的数目，便是测量值。如果不是由测量单位组成，则测量结果无意义。例如，面积不是由直线段单位组成，所以用直线单位测量面积得到无限大;同样，它不是由立方体组成，所以任何面积用立方体为单位去度量面积等于零。这两种测量都没有意义。现在我们用直线段测量海岸线所得结果趋向于无限大，说明海岸线不是由直线段所组成，而有自己的内在深层结构。

因此，如果说传统的测量理论是以构成图形的基本材料——点、线、面、体为基本单位，那么分形几何则是由其生成元所生成的结构，以这个“生成元”生成的基本结构作为基本量度单位。这个生成元及其生成的基本结构正是掩藏在分形几何图形深处的“深层结构”。正是这个“深层结构”构造了总体图形。曼德布罗特明确地指出:

人类智慧从观察某些事物入手，像立体派画家那样做观察。“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进。”所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。换言之，我们发现，把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构，而它几乎就是我们一开始处理的那种原始结构的复制品。[1]

大自然中无限丰富多彩的事物呈现的千姿百态，其每一类图形都有曼德布罗特所说的原始的“深层结构”——生成元及其生成的基本结构，它们构筑起自然界的各种事物的整体图形，从而使各种事物的“整体图形”与这个“深层结构”具有“自相似”这种内在关联。用深层结构测量整体图形的过程，正是这种内在关联的数量表达。海岸线因此理所当然地不能直接地用直尺测量，而应当用它的深层结构来测量。这个深层结构与该海岸线具有内在的“自相似”关系。而描述这种深层结构的数量，正是所谓分形几何的“维数”。

所谓几何图形的“维数”，即图形扩大时其占领空间也随之扩大的能力。它可以用来描述各个层次空间之间的关系。因此它能够刻画几何空间的内在结构。例如，正方形维数是2，一旦它每条边扩大3倍，那么它在纵横两个维度上都扩大3倍，总体上其容量(对空间的占领量)要扩大3×3=32=9倍。同样，三维立体图形，一旦其每条边扩大3倍，那么其在三个维度上都要扩大3倍，所以其容量要扩大3×3×3=33=27倍。普遍地说，假设某种图形的维数是d，如果某图形的每一条直线(即尺度)扩大N倍，那么其在各个维度上都要扩大N倍，于是它占有的空间所扩大的倍数将是“d个N相乘的积”，即扩大Nd倍，扩大后的图形包含Nd个原来的小图形。举例说，假如一个图形的维数为d，那么，当其图形在每个尺度上线性地扩大3倍后，将导致其d个维度统统都扩大3倍，因而其整个图形占有空间的量(容量)将扩大3d倍。

因此，“维数”也就是图形的尺度扩大与空间容量扩大之间的关系。现在我们再讨论海岸线长度的测量问题。当我们从不同的高度观察一段海岸线时，随着高度的不同所观察的范围也不同，但具有同等的复杂程度。也就是说，我们站得越高，看到的海岸线就越粗(这就是所谓“粗粒化”方法的直观形式)，其一定尺度上的细节上的复杂性被忽略，但是随着范围的扩大，总体上所呈现的复杂性与站得低、观察细所发现的复杂性是一样的。这就叫不同尺度上的海岸线的“自相似性”。这种自相似性产生的“层层嵌套”的几何图形，只能用其“深层结构”去测量容量(长度)。而这种深层结构的容量与普通的尺度的关系即海岸线的维数。中国北起中朝边界的鸭绿江口、南止中越边界的北仓河口的海岸线，全长1.763万公里，这是地理课本上所给出的海岸线长度。这是以公里为单位的测量值，其中忽略了1公里内的曲折。严格地说，正如面积单位是“平方公里”一样，中国海岸线的测量单位如果取“尺度为1公里的海岸线形”，那么其共有N=1.763×104段，即其测量值应为1.763×104“公里”，这里的“公里”严格地说是“尺度为1公里的海岸线形”。所谓“海岸线形”为海岸线的深层结构。而当以公里为单位时，1公里内的那些曲折就忽略了，当作直线看待(严格地说，当作“公里海岸线形”来看待)。而如果尺度为米，那么测量值的每一单位(段)就是“尺度为1米的海岸线形”，它将大于1米的曲折都包括在内，而小于1米的曲折就忽略不计了。由此得到的测量值就是海岸线包括多少个“尺度为1米的海岸线形”，其依赖于海岸线的维数。而这样的“海岸线形”的维数是多少呢?通过用所谓“盒子覆盖法”来进行计算，中国海岸线的维数大约为1.267。[2]（P215）于是，如果我们不用“公里”，而用“米”为单位来量度，每1“公里海岸线形”等于10001.267(米海岸线形)，因此，如果要问中国海岸线长有多少“米”?答案不是1.763×104×1000米，而是(1.763×104)×10001.267米，这里的“米”实际上指的是“一米海岸线形”，而不是简单的直线段。

三、“构成”与“生成”:两种空间结构观念

如上所述，某一类几何图形有其自身的深层结构，只能用这个深层结构为单位去生成图形和测量其容量。这说明自然界的几何图形自身存在着内部“层层嵌套”的自相似性:整体中某一完整的部分与其整体在几何结构上相似。这种自相似性意味着什么呢?

（一）新对称原理的发现：“标度不变性”

自然界各种事物的几何结构的“自相似性”的发现，意味着人们发现了一种新的对称性——标度对称性，也即标度变换下图形保持不变的“标度不变性”(scale invariance)。“标度”是“scale”一词的中译，也就是“尺寸大小”的意思，也可译为“尺度”。所谓“对称性”，是事物的某一性质在某项变换下保持不变。例如，如果一个东西的几何结构是左右对称的，我们把左右对调，这个东西的几何结构不变，于是该东西的几何结构与左右无关。狭义相对论中事物的物理定律具有在洛伦兹变换下的对称性，即实行洛伦兹坐标系变换后，事物的物理定律保持不变，即物理定律与所采用的坐标系无关。而分形几何中的物体几何结构的“自相似性”，说明将事物的尺度(即尺寸)变化后，几何图形的形状保持不变，即该事物的几何结构与其尺度无关。具体地说，这种几何结构的尺度无关性的含义是:整体图形如果忽略了下级尺度上的几何结构，那么各个尺度上的几何结构的形状将相似，只是尺度不同。

因此，分形几何发现了一种新的对称性，这就是尺度变换下几何形状的不变性，或者几何形状的尺度无关性。出现这种奇妙的对称机制的原因，是因为同一相互作用可以在不同的能级上进行，从而在不同空间层次上展现出来。既然它们是同一相互作用，应当服从同样的相互作用定律，因而其空间展现相应类似。同时又由于它们发生在不同的空间尺度上，因而其展现为不同层次。由此产生了所谓“标度不变性”。

（二）两种几何结构观

那么，这种尺度无关性意味着什么呢?意味着这种与大小尺寸无关的几何形状，并不是有固定大小的几何图形，而是一种体现在各个尺度上的“几何结构”，而这个几何结构既然与尺度无关，因而成为独立于尺度之外的一种独立要素，是能够在各个尺度上组织物体的几何结构，是没有固定尺度的“结构组织模式”。这体现了分形几何与传统几何关于“几何结构”概念的区别。

经典几何结构观(包括欧几里德与非欧几里德几何)认为:一切事物的几何结构都是由具有一定尺度的基本几何元素(如厘米、毫米、微米等，以及它们的平方单位、立方单位等)组成的，这些几何元素构成几何结构的基本单位。虽然这些几何单位无限可分，但它们每个都有特定的大小，由此构成各种几何结构。因此，单位尺度本身(以及其平方、立方所形成的单位)就是几何结构的最基本的单位。几何结构是由这些单位尺度(以及其平方、立方所形成的单位)堆砌而成的。当然，这些单位尺度又是由更小层次的元素所构成(如“面”由“线”组成，“线”由“点”组成等)，这是构成论的几何结构观。亚里士多德曾经指出事物有“质料因”和“形式因”。经典几何结构只强调几何结构中的“质料因”，而忽视几何结构中的“形式因”。打个比喻:它像先前的生物学那样只强调生物体的蛋白质等组成物质，而没有看到生物体中的遗传密码所规定的基因排列秩序。

而分形几何学的几何结构观却与此完全不同。自然界事物的几何结构不但要由各种单位尺度等构成元素所组成，而且更重要的是组织这些几何元素的生成模式。这种生成模式独立于尺度，从而能在各个不同尺度上将这些几何元素组织成特定的几何结构。在同样的尺度上，不同的组织模式将会生成完全不同的几何结构，它们之间没有通约性，因而不能相互量度。而在相同的组织模式下，不同尺度上的几何学原料(点、线、面、体)可以被组织为相似的结构，从而产生物体的“自相似性”。因此，与“自相似性”在逻辑上等义的“尺度无关性”(在尺度变换下几何形状的不变性)，意味着超越尺度的“组织模式”的存在。为了便于理解，我们或许可以打个也许不很贴切的比方:这种组织模式是“几何学的DNA”，它在各个层次上组织着“几何学的蛋白质材料”(点、线、面、体)，从而产生了现实物体的几何结构。因此，几何学中的“深层结构”不是更深层次的几何材料 (如面由线所组成，线由点所组成等)，而是掩藏在宏观几何形态中的某种“基本的几何结构模式”，也即几何结构的生成元。正是这种模式产生了事物的“自相似性”。

从哲学上说，几何结构观的这种改变，是从“构成论”向新的“深层生成论”的改变。这种几何学的“深层本体”是客观的“几何体的DNA”——生成元，它是能够不断进行几何结构生成的能动元素。

四、两种简化世界的方法论

这两种不同的几何结构观，实质上是两种简化世界的方法论在几何学上的体现。构成论认识世界的基本途径，是把世界各种事物不断进行分解、分解再分解，一直找到各个事物之间共同的最简单的组成元素，把世界理解为各个组成部分的线性总和(即机械总和)。这样一来，世界就被简化了，从而取得了自然科学的巨大成功。欧几里德几何学的成功，在于把世界各种几何形状归结为圆和直线的几何学。笛卡尔解析几何的成功，牛顿微积分方法的成功，在于把各种几何形态归结为无限小的直线段(或作为线段乘积的微分面积与微分体积)，从而把事物发生的各种过程归结为无限小范围内的线性过程的累积。这种成功是构成论方法论的成功:把世界分解为最简单的要素的总和。

然而这种成功是有局限性的。因为世界从总体上说并不是简单元素的机械总和。按照恩格斯的说法:“自然界不是存在着，而是生成着和消逝着。”[3]（P415）因此，这种方法仅仅适用于自然界的既成事物，而不适合于不断“生成着和消逝着”的事物，而且也不能解释既成事物的产生根源。因此要认识自然界各种事物发展过程，认识既成事物的产生根源，就必须采用新的方法论。对几何图形而言，就是寻求掩藏在复杂事物的几何形态之中的最简单的“几何组织模式”，并用这种几何模式来理解复杂事物。于是我们得到这样的方法:某种超越尺度的几何模式在各个尺度上组织着基本的几何元素，从而产生了层层嵌套的复杂的几何结构。这是与“构成论”不同的简化世界的方法。

我们可以通过一些日常事例来说明这种方法对认知复杂事物的优越性。用筷子搅动鸡蛋最后形成的蛋糊形状是非常复杂的结构。如果我们按照构成论的方法，根据分子之间的相互作用力分析蛋糊中分子构成的图像，建立分子图像的微分方程，其复杂程度是无法想象的，实际上是根本不可能的。然而我们如果换一种方法，就会“柳暗花明又一村”，世界就会呈现出一种崭新的面貌——这就是寻求形成蛋糊的基本组织模式。蛋糊的结构无论怎样复杂，实际上都是通过最简单的搅动动作的反复进行而形成的。如果我们规定几个规范化的搅动动作，那么每一次搅动都将使蛋糊的几何结构产生某种变化，这种变化我们称之为“组织模式”，用各个层次上的组织模式来分析蛋糊的几何结构，我们将会从一片混乱当中得到有意义的结果。再比如说，雪花的几何结构虽然很规则，但是要用构成论的方法，根据分子间相互作用原理来确定各个分子的位置，是件无比复杂的工作。然而，如果我们设计一个雪花形成过程中的基本“动作”(例如，一个低于零度的核心物质不断俘获周围的水分子)，那么就会得到雪花的基本组织模式，按照这个组织模式来分析雪花的复杂的几何结构。我们还可举出社会事项来说明这种方法的作用。股票价格的波动曲线是十分复杂的。如果按照构成论的方法来分析这些价格曲线(例如用回归法寻找价格曲线的方程)，或者复杂得几乎不可能完成，或者能够得到这些曲线上的点的构成方程，但是不能做出有意义的解释。然而，如果我们转换方法，寻求股市价格的“组织模式”，就可能找到打开复杂事物之谜的出路。股票价格是由“利空”因素与“利好”因素交织而成的，分析这些基本因素对价格的影响方式，有可能寻找到股票价格曲线的“组织模式”，由此来分析股票价格的几何结构。如此等等的事例使我们认识到，寻求事物几何结构的“组织模式”的方法是比寻求事物“组成部分”的“构成论”方法更加有效的高级方法。构成论方法通过寻求客观事物的共同“砖块”而使世界得到简化，而寻求“组织模式”的方法通过寻求事物结构的基本生成方式而使世界得到简化。后者找到了分析复杂事物的一把钥匙。

因此，掩藏在事物几何形态之中的“深层几何结构”，不是组成几何世界的静态的“砖块”，而是一种动态的模式，它使基本的几何要素在各个尺度上按照该模式组织起来。因此“深层几何结构”是几何世界的一种生成方式，它使现实的几何世界处于不断的生成过程中。各种事物的几何结构，从山峦到海岸线，从树木花草到雷电雨雪，大自然的无限丰富的几何形态都是这种生成过程所产生的结果。而分形几何学——关于整体与其部分的自相似性的几何学，也只有在这种生成过程中才能真正得到理解。

[1]（美）曼德布罗特.分形——自然界的几何学[J].世界科学，1991，（11）.

[2]陆同兴.非线性物理概论[M].北京：中国科学技术出版社，2002.

[3]马克思恩格斯文集（第9卷）[M].北京：人民出版社，2009.